Forum serwisu

W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono z wierzchołka C wysokość CD. Udowodnij, że jeżeli |AC|-|AB|=|AB|-|BC|=r, to:
|AC|^2-|BC|^2=4r*|AB|
|AD|-|BD|=4r

Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|=|BC| i kąt ACB=100 stopni. Niech D będzie punktem przecięcia dwusiecznej kąta BAC z bokiem BC. Na boku AB obierzmy punkty E i F tak, by kąt ADE=60 stopni i kąt ADF=80 stopni. |DE|=|DF|=|BF|; trójkąty ACD i AED są przystające;
Udowodnij, że |AD|+|CD|=|AB|.

W trójkącie równoramiennym ABC ramiona mają długość |AB|=|AC|=a. Na podstawie BC obieramy dowolny punkt D. Odległość punktu D od prostej AB oznaczamy przez x, a od prostej AC przez y. Mając dane a, x, y, oblicz pole trójkąta ABC. Wykaż, że x+y=h, gdzie h jest wysokością trójkąta ABC poprowadzoną z w...

Udowodnij, że w równoległoboku ABCD zachodzi równość |AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2=|AC|^2+|BD|^2

Dany jest równoległobok ABCD. Na przekątnej BD obrano dowolny punkt P, a na bokach BC i CD takie punkty K i L, że PK || AB i PL || AD. Odcinki AK i AL przecinają przekątną BD w punktach M i N (odpowiednio). Udowodnij, że pole trójkąta AMN jest równe sumie pół trójkąta BKM i DLN.

W trójkącie ABC, który nie jest prostokątny, poprowadzono wysokości AD, BE i CF. Zrób rysunek. Udowodnij, że |AB|/|AE|=|AC|/|AF|, |BC|/|BF|=|BA|/|BD| i |CA|/|CD|=|CB|/|CE|.

Dany jest trójkąt ABC. Przez punkt B prowadzimy prostą k równoległą do AC. Dwusieczna kąta BAC przecina odcinek BC w punkcie D, a prostą k w punkcie E. Zrób rysunek. Trójkąt ABE jest równoramienny.
Udowodnij, że |BD|/|CD|=|AB|/|AC|.
Mając dane |AB|=x, |AC|=y i |BC|=z, znajdź długości odcinków BD i CD.

Czworokąt o bokach długości a, b, c, d (kolejno) jest opisany na okręgu. Udowodnij, że a+c=b+d.

W trójkątach o bokach długości |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c wpisano okrąg styczny do boków BC, CA, AB w punktach D, E, F (odpowiednio). Niech |AE|=|AF|=x, |BF|=|BD|=y, |CD|=|CE|=z. Zrób rysunek.
Mając dane a, b, c, oblicz x, y, z.

W trójkącie prostokątnym ABC kąt prosty jest przy wierzchołku C. Długości boków BC, CA, AB oznaczamy przez a, b, c (odpowiednio), a promień okręgu wpisanego przez r. Niech O będzie środkiem okręgu wpisanego, a K, L, M punktami styczności tego okręgu z bokami AC, BC, CA (odpowiednio). Zrób rysunek. U...

Udowodnij, że 2+2^2+...+2^100 jest podzielne przez 3.

dane jest wyrażenie (x-1)*(x-2)*...*(x-99)*(x-100) Oblicz wartość tego wyrażenia dla x=13.

czy równanie √(x^2+2)+√(x^2+3)=3 ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych?

Obwód trójkąta to 18 cm. Oblicz, jaka jest długość każdego z boków tego trójkąta jeżeli ich długości są liczbami naturalnymi i suma dwóch boków jest większa o 6 cm od trzeciego boku.

(5x+...)²=...+70xy-...