Forum serwisu

Proszę o wyjaśnienie jak rozwiązać takie zadanie. Niech \(X\) ma rozkład symetryczny. Udowodnij, że dla dowolnego \(a \in R \) zachodzi \(E\left| X+a\right| \ge EX \).

Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania. Niech \(X,\ Y\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie \(U(0, 1)\). Definiujemy nowe zmienne losowe \(U=\sqrt{-\ln(X)}\cos(2 \pi Y), V=\sqrt{-\ln(X)}\sin(2 \pi Y)\). Znajdź rozkład tych zmiennych losowych. Czy są to zmienne niezależne?

Fermion to cząstka elementarna, która podlega zakazowi Pauliego, tj. dwie cząstki nie mogą znajdować się w dokładnie takim samym stanie. Teraz załóżmy, że mamy układ N fermionów i każdy z nich może znajdować się w jednym z K różnych stanów. Ile możliwych stanów ma układ N fermionów?

Mam problem z rozwijaniem funkcji w szereg Laurenta, mimo przejrzenia dużej ilości przykładów i stron z teorią cały czas wychodzą mi złe wyniki. Prosiłabym o wyjaśnienie kiedy w jaki sposób rozwijać funkcję w szereg Laurenta we wskazanym pierścieniu P.

Znaleźć pierścień i sumę szeregu Laurenta \( \sum_{n=- \infty }^{ \infty }c_n z^n \), jeżeli:
\( c_n = \begin{cases} \frac{n}{2^{n+1}} & \text{dla}& n \ge 0 \\
0 & \text{dla}& n=-2\\
-1 & \text{dla}& n <0\wedge n \neq -2\end{cases} \)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu takich dwóch przykładów, są oznaczone jako trudniejsze i niestety przerosły mnie. Znaleźć promienie i koła zbieżności podanych szeregów potęgowych:
a) \( \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{2^n(n!)^2}{(2n)!} z^{2n}\)
b) \( \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{n!}{(n+i)^n}z^n\)

Dziękuję, rozumiem. A w jaki sposób sprawdzić zbieżność z kryterium Dirichleta (taki sposób jest sugerowany w książce) ?

Dzięki, rozumiem, czyli z warunku koniecznego będzie równa \(e^i\) zatem szereg jest rozbieżny bo jest różny od zera.

Mam jeszcze problem z takim przykładem. Zbadać zbieżność i bezwzględną zbieżność podanego szeregu \( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n+1)^n}{n^n}\).

Proszę o pomoc jak rozwiązać ten przykład. Zbadać zbieżność i bezwzględną zbieżność podanego szeregu\[\sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{i^n}{n}. \]

Korzystając z własności funkcji charakterystycznej znajdź rozkład, którego funkcja charakterystyczna jest wyrażona wzorem \(ϕ(t) = \frac{2}{3e^{it}-1} \)

Pokazać, że funkcja charakterystyczna jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne losowe X oraz −X mają ten sam rozkład.

Dziękuję, rozumiem to rozwiązanie. Jednak książce odpowiedź to: \[\{w \in C:\ Im(w) \ge 0,\ \frac{(Im(w))^2}{4}-1 \le Re(w) \le 1- \frac{(Im(w))^2}{4} \}\].

Znaleźć obraz zbioru \(D\) przy odwzorowaniu \(w=f(z)\). Narysować zbiór \(D\) i jego obraz, jeśli:
\(D= \left\{ z \in C:\ 0 \le Re(z) \le 1,\ 0 \le Im(z) \le 1\right\},\ f(z)=z^2\)

Proszę o pomoc w takim zadaniu. Podać przykład ciągu zmiennych losowych, dla którego zachodzi zbieżność wg prawdopodobieństwa, ale nie prawie na pewno.