Forum serwisu

Dotąd dobrze, no to dalej... ...= \Lim_{n\to \infty } \frac{12 \cdot 3^n-2 \cdot 2^n}{ \sqrt{3^{2n}+12 \cdot 3^n} + \sqrt{3^{2n}+2 \cdot 2^n} }= \Lim_{n\to \infty } \frac{3^n(12 -2 \cdot (\frac{2}{3})^n)}{3^n( \sqrt{1+ \frac{12}{3^n} } + \sqrt{1+2 \cdot (\frac{2}{9})^n} ) }= \frac{12-0}{1+1} =6

Na rysunku powyżej są dwa wykresy:
y=|ctgx| oraz prosta pozioma y=1.
Rozwiązaniem nierówności są przedziały, w których wartości |ctgx| znajdują się powyżej prostej poziomej, łącznie z punktami wspólnymi.

naturaMF pisze:

a skąd wiadomo, że kąt jest w 4 ćwiartce?

Na początku zadania było podane:
\(x \in ( \frac{3}{2}π;2π),\) a to oznacza czwartą ćwiartkę.

naturaMF pisze:a dlaczego \(\sin (-240^ \circ )=- \sin (240^ \circ )\) ? z czego to wynika?

Bo funkcja sinus jest nieparzysta --> sin(-x)=-sinx.

a) f(x)= \frac{3x^4+4}{x(x^2-1)} D= \rr \bez \left\{0;1;-1 \right\} \Lim_{x\to 0^- } f(x)=\Lim_{x\to 0^- }\frac{3x^4+4}{x(x-1)(x+1)} = \frac{4}{0^+}=+ \infty \\ \Lim_{x\to 0^+ } f(x)= - \infty \\\Lim_{x\to 1^- } f(x)=- \infty \\ \Lim_{x\to 1^+ } f(x)= + \infty \\ \Lim_{x\to -1^- } f(x)= - \infty \\...

\frac{5}{3-i}+ \frac{8-i}{ \left( 2-3i\right)^2} \frac{5}{3-i}+ \frac{8-i}{ \left( 2-3i\right)^2}= \frac{5(2-3i)^2+(8-i)(3-i)}{(3-i)(2-3i)^2}= \frac{5(4-12i-9)+24-8i-3i-1}{(3-i)(4-12i-9)}= \frac{2+71i}{27+31i} \cdot \frac{27-31i}{27-31i} = \frac{54-62i+1917i+2201}{27^2+31^2}= \\ = \frac{2255+1855i}...

Można też sprawdzić, że \(\frac{ \sqrt{3}+1 }{2} \approx 1,37.\)

\frac{ \sqrt{3} +1}{2} = \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{3} +\frac{1}{2} To jest ta sama liczba zapisana na 3 sposoby. Ta ostatnia postać jest tą, którą trzeba było podać. 2) Nierówność spełniają wszystkie liczby należące do zbioru < \frac{ \sqrt{3} +1}{2}; + \infty) , zatem naj...

Rozwiąż nierówność x-4 \le \sqrt{3}x-5 1) x-4 \le \sqrt{3}x-5 \\ \sqrt{3}x-x \ge5-4 \\ ( \sqrt{3}-1)x \ge 1 \\ x \ge \frac{1}{ \sqrt{3} -1 } \cdot \frac{ \sqrt{3} +1 }{ \sqrt{3} +1 } = \frac{ \sqrt{3} +1 }{ 2 } \\ x \ge \frac{1}{2} \sqrt{3}+ \frac{1}{2} 2) \sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4} \\ 2 < \sqr...

f) f(x)= \frac{(x-1)(x^2-1)}{x+2} \\ D= \rr \bez \left\{ -2 \right\} \\ f' (x)= \frac{2x^3+5x^2-4x-3}{(x+2)^2}= \frac{2(x-1)(x+3)(x+ \frac{1}{2} )}{(x+2)^2} \\ f'(x)=0 \iff x=1 \vee x=-3 \vee x=- \frac{1}{2} \\ f'(x)>0 \iff x \in (-3;-2) \cup (-2; - \frac{1}{2} ) \cup (1;+ \infty) \\ f'(x)<0 \iff x ...

d) f(x)= \frac{x^4}{(x-1)^2} \\ D= \rr \bez \left\{ 1 \right\} \\ f'(x)= \frac{2x^3(x-2)}{(x-1)^3} \\ f'(x)=0 \iff x=0 \vee x=2 \\ f'(x)>0 \iff x \in (0;1) \cup (2;+ \infty) \\ f'(x)<0 \iff x \in (- \infty ;0) \cup(1;2) Funkcja rosnącą w przedziałach \ \ (0;1) \ \ i \ \ (2;+ \infty) . Funkcja maleją...

dobrzyc pisze: b)\(f(x)= \frac{1}{ \sqrt{x^2-1} }\)

D=\((- \infty, -1) \cup(1, + \infty)\)

f'(x)=\(- \frac{x}{ \sqrt{x^2-1}^3 }\)
f''(x)= \(\frac{2x^2+1}{ \sqrt{x^2-1}^5 } \neq 0 \ \\)dla każdego x

Zatem funkcja f nie ma punktów przegięcia.

Można jeszcze zapisać tak:
\(\int_{}^{} \frac{tgx}{cos^2x} dx= \frac{1}{2} tg^2x +C= \frac{1}{2} \cdot \frac{sin^2x}{cos^2x}+C= \frac{1}{2} \cdot \frac{1-cos^2x}{cos^2x}+C= \frac{1}{2cos^2x} - \frac{1}{2}+C= \frac{1}{2cos^2x} +C_1\)

Hmm, ja bym powiedziała, że ciąg w ogóle nie może być określony podanym wzorem, bo wtedy nie istniałby wyraz \(a_2\).