forum.zadania.info

Punkty \(A=(-1,0),\ B=(7,0),\ C=(0,1)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

Analogicznie jak tutaj

Pozdrawiam

Aby napisać równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, musimy najpierw znaleźć jego środek i promień. Wiadomo, że okrąg ten przechodzi przez punkty A, B i C, więc jego środek musi leżeć na środkowej prostopadłej do boku AB, która przechodzi przez punkt C. Możemy to zapisać jako równanie prostej:

\({AB}: y = 0\)

Ponieważ punkt C ma współrzędne (0, 1), to środek okręgu musi znajdować się na prostej:

\({AC}: x = \frac{-1}{2}\)

która jest środkową prostopadłą do boku BC.

Podobnie jak w przypadku prostej przechodzącej przez punkt C, możemy znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do boku AC:

\({BC}: y - 1 = \frac{1}{7}(x - 0)\)

Następnie znajdujemy punkt przecięcia prostych \({AB}\) i \({AC}\), który jest środkiem okręgu opisanego:

\({AB} \cap {AC}: \left(\frac{-1}{2}, 0\right)\)

Promień okręgu opisanego jest równy odległości między środkiem a dowolnym wierzchołkiem trójkąta. Możemy użyć punktu A:

\(r = \sqrt{\left(\frac{-1}{2} + 1\right)^2 + 0^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}\)

Ostatecznie, równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC jest dane wzorem:

\((x - \frac{-1}{2})^2 + (y - 0)^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2\)

lub po uproszczeniu:

\((x + \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{5}{4}\)