Spłata kredytu

[janusz55]

Załóżmy, że spłacamy kredyt bankowy w wysokości \( K \ \ zł \). Zakładamy ponadto, że raty, które spłacamy, są równe i kredyt oprocentowany jest \( p \ \ \% \) w skali roku.

Odsetki \( o = \frac{p}{s} \)

W praktyce bankowej przyjmuje się: \( s = 1200,\) gdy odsetki doliczane są co miesiąc, \( s = 5200, \) gdy odsetki doliczane są co tydzień.

Jeśli przez \( r \) oznaczymy wysokość spłacanej raty, to sumę, która pozostaje do spłaty w \( i \) -tym miesiącu można przedstawić w postaci równania rekurencyjnego:

\( K_{i} = K_{i-1} +o\cdot K_{i-1} - r, \ \ i =1,2,..., n \ \ (1) \)

z warunkiem początkowym: \( K_{0} = K.\)

Podstawiając do \( (1) \) kolejno \( i=1,2,..., n, \) otrzymamy:

\( K_{1} = K + o\cdot K - r = K(1 +o) -r,\)

\( K_{2} = [(K(1 +o)- r)\cdot (1+o) - r = K(1+o)^2 -r[(1+o) +1],\)

\( ..............................................................\)

\( K_{n} = K\cdot (1 +o)^{n} -r\cdot [ (1+o)^{n-1} + (1+o)^{n-2} + \ \ ...+ \ \ (1+o) + 1].\)

W nawiasie mamy sumę ciągu geometrycznego o ilorazie \( q = 1+o .\)

\( K_{n} = K\cdot (1+o)^{n} -r\frac{[1+o)^{n} -1]}{1 +o -1} = (1+o)^{n} -r\frac{[1+o)^{n} -1]}{o}.\)

Z ostatniego równania możemy wyprowadzić wzory na: wysokość raty \( r \) i okres spłaty kredytu \(n, \) kładąc \( K_{n} = 0, \) po spłacie kredytu.

r:
\( 0 = K(1_o)^{n} - r\frac{(1+o)^{n}-1}{o},\)

\( \frac{r}{o}\left[ (1+o)^{n}-1\right] = K(1+o)^{n},\)

\( r =K \cdot \frac{o\cdot (1+o)^{n}}{(1+o)^{n}-1} \ \ (1)\)

n:
\( 0 = K\cdot(1+o)^{n} - \frac{r}{o}\cdot (1+o)^{n} + \frac{r}{o},\)

\( (1+o)^{n} \cdot \left(K -\frac{r}{o}\right) = -\frac{r}{o},\)

\( (1+o)^{n} = \frac{-r}{o\cdot K - r} = \frac{r}{r -o\cdot K}, \ \ r > o\cdot K \)

\( n = \frac{\ln\left( \frac{r}{ r -o\cdot K}\right)}{\ln(1+o)}.\)

[grdv10]

Wzór (1) można odnieść do każdego planu spłaty kredytu. Dalej jednak omawiasz rzeczywiście (tak jak anonsujesz) plan spłaty kredytu w ratach równych, a Twoje wnioski są prawidłowe. W Twoim poście brak pewnego aspektu matematyki finansowej (nie jest to zarzut, lecz rodzaj uzupełnienia). Mianowicie każda rata kredytu jest sumą raty kapitałowej oraz odsetek. W Twoim równaniu (1) mamy\[r=(K_{i-1}-K_i)+oK_{i-1},\]więc oczywistym jest, że ratą kapitałową jest \(K_{i-1}-K_i\). W planie spłaty kredytu w ratach równych raty kapitałowe nie są identyczne.

Oprócz tego planu często stosuje się plan spłaty kredytu w ratach malejących. Polega on na takiej konstrukcji raty, aby rata kapitałowa była identyczna. Wtedy odpowiednio nalicza się odsetki. Można udowodnić, że tak obliczone raty rzeczywiście maleją. Można też pokazać, że przy tej samej stopie procentowej w planie o ratach malejących spłacimy łącznie niższą sumę niż w planie o ratach równych.

Może warto więc, abyś zanalizował również ten plan spłaty, skoro pokusiłeś się o - moim zdaniem wartościowy - wpis o kredytach.

Wiele lat temu na swoim blogu popełniłem siedmioczęściowy cykl artykułów pod wspólnym tytułem Subtelności liczenia pieniędzy. Myślę, że i ten cykl będzie naszym Czytelnikom przydatny.

[janusz55]

Zgadzam się, że w naszej rzeczywistości oprocentowanie kredytów długookresowych (np. mieszkaniowych) jest zwykle zmienne i zależy od stóp procentowych.
Nie jesteśmy w stanie przewidzieć zwłaszcza w dłuższej perspektywie o ile wzrosną lub spadną stopy procentowe - jak zmieni się oprocentowanie.
Ostatnio niektóre banki na przykład [ciach], aby zachęcić klientów udzielają pożyczek na \( o = 0\%.\)
Tyle ile pożyczasz tyle spłacasz.