Wyznaczyć sumę szeregu
\( \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{10n^2 +2n-2}{(4n^2-1) (n^2 +n) }\)
Suma szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Suma szeregu
W rozkładzie na ułamki proste mamy\[ \frac{10n^2 +2n-2}{(4n^2-1) (n^2 +n) }=\left[\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1}\right]+\left[\frac{2}{n}-\frac{2}{n + 1}\right],\]co powinno pozwolić na w miarę łatwe wyznaczenie sum częściowych (sumy teleskopowe).
W sumach teleskopowych mamy tak, że są one różnicami odjemnej początkowego wyrazu i odjemnika ostatniego wyrazu. Więc suma częściowa dla pierwszego składnika wyjdzie\[1-\frac{1}{2n+1},\]a dla drugiego\[2-\frac{2}{n+1}.\]Pierwsza suma zmierza do \(1\), a druga do \(2\), a zatem sumą szeregu jest \(3\).
Żeby zobaczyć jak działają sumy teleskopowe, zapisz sobie np. sumy początkowych pięciu wyrazów dla obu wyrażeń w nawiasach kwadratowych.
W sumach teleskopowych mamy tak, że są one różnicami odjemnej początkowego wyrazu i odjemnika ostatniego wyrazu. Więc suma częściowa dla pierwszego składnika wyjdzie\[1-\frac{1}{2n+1},\]a dla drugiego\[2-\frac{2}{n+1}.\]Pierwsza suma zmierza do \(1\), a druga do \(2\), a zatem sumą szeregu jest \(3\).
Żeby zobaczyć jak działają sumy teleskopowe, zapisz sobie np. sumy początkowych pięciu wyrazów dla obu wyrażeń w nawiasach kwadratowych.