Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym miara kąta przy wierzchołku \(C\) jest równa \(90^\circ \) i \(|AC|>|BC|\). Środek okręgu stycznego do boku \(BC\) w punkcie \(E\) i do boku \(AC\) w punkcie \(P\) leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją na odcinki długości \(15\) i \(20\).
a) Oblicz długość promienia tego okręgu.
b) Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(P\), oblicz długość odcinka \(PB\) i \(PE\).
Oblicz
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: Oblicz
Zmieniłem treść zadania na robialną ...
Pozdrawiam
- Zrób schludny rysunek, niech \(Q\) będzie środkiem okręgu, \(r>0\) jego promieniem , \(\alpha\) miarą kąta \(CAB\)
- \(|\angle EQB|=\alpha\)
- Z \( \Delta AQD: \sin\alpha={r\over20}\), z \( \Delta QBE: \cos\alpha={r\over15}\)
- Wobec jedynki trygonometrycznej mamy: \(\left({r\over20}\right)^2+\left({r\over15}\right)^2=1\iff r=12\)
- Z \(\Delta QBE: |EB|=\sqrt{15^2-12^2}=9\)
- Z \(\Delta QED: |DE|=12\sqrt2\)
- \(\Delta DQP\sim\Delta BPE\, (kk):\,
\frac{12}{15+|BP|}=\frac{9}{|BP|} \wedge \frac{12}{12\sqrt2+|EP|}=\frac{9}{|EP|}\)
Pozdrawiam