Zadanie z teorii liczb.

[Taotao2]

Wyznacz wszystkie pary \((m,n)\) liczb naturalnych, dla których zachodzą równości:
\(m+s(n)=n+s(m)=70\)
gdzie \(s(a)\) oznacza sumy cyfr liczby naturalnej \(a\).

[Jerry]

Zauważ, że muszą to być liczby dwucyfrowe
Niech \(\begin{cases}m=10x+y\\ n=10p+q\end{cases}\), gdzie \(x\ne 0,\ y,\ p\ne0,\ q\) są cyframi. Wtedy
\[-\underline{\begin{cases}10x+y+p+q=70\\x+y+10p+q=70\end{cases}}\\ 9x-9p=0\\ p=x\]
Czyli, z(i): \[11x+y+q=70\]
Pozostaje "poprzymierzać"...
\[x=5\So y+q=15\So\left(\begin{cases}m=56\\n=59\end{cases}\vee\begin{cases}m=57\\n=58\end{cases}\vee\begin{cases}m=58\\n=57\end{cases}\vee\begin{cases}m=59\\n=56\end{cases}\right)\\
x=6\So y+q=4\So\left(\begin{cases}m=60\\n=64\end{cases}\vee\begin{cases}m=61\\n=63\end{cases}\vee\begin{cases}m=62\\n=62\end{cases}\vee\begin{cases}m=63\\n=61\end{cases}\vee\begin{cases}m=64\\n=60\end{cases}\right)\]
Pozdrawiam

[edited] poprawka 2*bad-klick

[Jerry]

Tulio: dziękuję za uwagę!

Pozdrawiam