Zmienna losowa i funkcja gęstości

[stemazing10]

Zad 1. Dana jest zmienna losowa \(X\), której rozkład jest zadany funkcją gęstości:

\(f(x)=\begin{cases}0&\text{dla}&-\infty<x\le-2\\
-3(x^2+3x+2)&\text{dla}&-2<x\le-1\\
0&\text{dla}&-1<x\le0\\
-3(x^2-x)&\text{dla}&0<x\le1\\
0&\text{dla}&1<x<+\infty\end{cases}\)

Wykaż, że całkowita wartość prawdopodobieństwa definiowana przez tę zmienną losową jest równa \(1\). Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej \(X\). Podaj interpretację obliczonych wielkości

Zad 2. Wyznacz wartość stałej \(c \in \rr\) tak, aby \(f\) była funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(X\), jeśli:

\(f(x)=\begin{cases}c(x^2-1)&\text{dla}&x\in\langle1;3\rangle\\0&\text{dla}&x\notin\langle1;3\rangle\end{cases}\)

Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej \(X\). Podaj interpretację obliczonych wielkości.