Przypuśćmy że mamy dane współrzędne wierzchołków trójkąta ABC
1. Piszemy równania prostych w których zawierają się ramiona kąta
2. Na jednym z ramion kąta obieramy sobie punkt D
3. Piszemy równanie okręgu o środku w punkcie A i promieniu AD
4. Punkt E to przecięcie okręgu z prostą zawierającą drugie ramię kąta
(to ramię na którym nie leży punkt D)
5. Piszemy równanie prostej przechodzącej przez punkty D oraz E
6. W zależności od wyboru punktu E z układu równań w kroku 4.
piszemy równanie prostej prostopadłej do prostej DE oraz przechodzącej przez punkt A
piszemy równanie prostej równoległej do prostej DE oraz przechodzącej przez punkt A
A teraz pytania
1. Z układu równań w kroku 4. dostajemy dwa punkty E
Dla jakiego punktu E należy w kroku 6. poprowadzić prostą prostopadłą
a dla jakiego punktu E należy w kroku 6. poprowadzić prostą równoległą
Jaki jest warunek na wybór punktu ?
2. Uzasadnić poprawność powyższego sposobu
Miałbym jeszcze jedno pytanie ale najpierw chciałbym abyście odpowiedzieli na powyższe pytania
Dwusieczna kąta wewnętrznego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3550
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1954 razy
Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego
Punkt \(D\) zaznaczyłem na boku \(\overline{AB}\). Jeśli wybierzesz punkt \(E\) z półprostej \(AC\vec{ }\), to piszesz równanie prostopadłej, jeśli wybierzesz punkt \(E\) z drugiej półprostej - równoległej. Uzasadnienie najprościej z rysunku!
Pozdrawiam
PS. Istnieją mniej udziwnione metody wskazania równania dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta, np. korzystając z wektorów
Pozdrawiam
PS. Istnieją mniej udziwnione metody wskazania równania dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta, np. korzystając z wektorów
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 149
- Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 13 razy
- Płeć:
Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego
1. Tak by było ale gdybyśmy chcieli napisać program to trzeba by było jakoś inaczej zapisać warunek na wybór punktu E
2. Można by narysować kilka trójkątów i wtedy na rysunku byłoby widać
ale czy z kilku narysowanych trójkątów można wnioskować że tak będzie zawsze
a tak poza tym da się opisać słownie dlaczego sposób jest poprawny oczywiście powołując się na odpowiednie twierdzenia
Trzecie pytanie byłoby związane z uproszczeniem rozwiązania układu równań dwusiecznych np kąta A oraz kąta B
No tak tyle że jeżeli chcesz konstruować dwusieczną to musisz korzystać z tych "udziwnionych sposobów"
no chyba że wymyśliłeś inny sposób
Ja powyższy sposób na równanie dwusiecznej wyprowadziłem znając jedynie jej konstrukcję
2. Można by narysować kilka trójkątów i wtedy na rysunku byłoby widać
ale czy z kilku narysowanych trójkątów można wnioskować że tak będzie zawsze
a tak poza tym da się opisać słownie dlaczego sposób jest poprawny oczywiście powołując się na odpowiednie twierdzenia
Trzecie pytanie byłoby związane z uproszczeniem rozwiązania układu równań dwusiecznych np kąta A oraz kąta B
No tak tyle że jeżeli chcesz konstruować dwusieczną to musisz korzystać z tych "udziwnionych sposobów"
no chyba że wymyśliłeś inny sposób
Ja powyższy sposób na równanie dwusiecznej wyprowadziłem znając jedynie jej konstrukcję
- Jerry
- Expert
- Posty: 3550
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1954 razy
Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego
To moglibyśmy:
- Zastrugać wektory \(\vec{AB},\vec{AC}\)
- Zwersorować je: \(\begin{cases}\vec c={1\over|\vec{AB}|}\cdot\vec{AB}\\\vec b={1\over|\vec{AC}|}\cdot\vec{AC}\end{cases}\), czyli \(|\vec c|=1=|\vec b|\)
- Wektor \(\vec v=\vec c+\vec b\) jest wektorem rozpinającym szukaną dwusieczną, czyli (w postaci parametrycznrj) \(d_A:\begin{cases}x=x_A+t\cdot x_{\vec v}\\y=y_A+t\cdot y_{\vec v}\end{cases}\wedge t\in\rr\)
- Przejście w postać ogólną / kierunkową (o ile istnieje) jest tylko formalnością
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 149
- Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 13 razy
- Płeć:
Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego
Co do sposobu przedstawionego w pierwszym wpisie to istnieje warunek na wybór punktu E bez wprowadzania pojęcia półprostej
To co podałeś może i jest prawdziwe ale także i bezużyteczne
Poza tym przypominasz mi jednego kolesia co ostatnio prowadził transmisje z rozwiązywania arkuszy maturalnych
Chwalił się że napisał program którego częścią było rysowanie okręgu wpisanego w trójkąt i
do tego potrzebował równania dwusiecznej
Zapytałem go wtedy o sposób który wyprowadziłem z konstrukcji dwusiecznej ale koleś miał chyba problemy
z czytaniem bo pominął to że sposób pochodzi z konstrukcji
Niby napisał wzór na iloczyn skalarny ale nie podał jak go wykorzystać
Po zakończeniu transmisji podał ten sposób co ty tylko że przedstawił go nieco dokładniej
a i podał jak dostać postać ogólną
To co podałeś może i jest prawdziwe ale także i bezużyteczne
Poza tym przypominasz mi jednego kolesia co ostatnio prowadził transmisje z rozwiązywania arkuszy maturalnych
Chwalił się że napisał program którego częścią było rysowanie okręgu wpisanego w trójkąt i
do tego potrzebował równania dwusiecznej
Zapytałem go wtedy o sposób który wyprowadziłem z konstrukcji dwusiecznej ale koleś miał chyba problemy
z czytaniem bo pominął to że sposób pochodzi z konstrukcji
Niby napisał wzór na iloczyn skalarny ale nie podał jak go wykorzystać
Po zakończeniu transmisji podał ten sposób co ty tylko że przedstawił go nieco dokładniej
a i podał jak dostać postać ogólną
- Jerry
- Expert
- Posty: 3550
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1954 razy
Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego
Primo: jest prawdziwe,
secundo: analitycznie - najlepsze,
tertio: wykorzystuje elementarne fakty,
quarto: przenoszę do "informatyka".
Pozdrawiam
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 149
- Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 13 razy
- Płeć:
Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego
Tak to jak byś ten warunek z półprostymi zapisał w kodzie ?
Masz do dyspozycji współrzędne wierzchołków trójkąta za pomocą których można też stosunkowo łatwo
wyrazić współczynniki równania prostej zawierającej boki trójkąta
Masz do dyspozycji współrzędne wierzchołków trójkąta za pomocą których można też stosunkowo łatwo
wyrazić współczynniki równania prostej zawierającej boki trójkąta
- Jerry
- Expert
- Posty: 3550
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1954 razy
Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego
Na pewno \(\vec{AE}=k\cdot\vec{AC}\). Jeśli \(k>0\), to \(E\in AC\vec{} \)
Pozdrawiam
Przykro mi, nie jestem kodopisem. Może jakiś informatyk się odezwie...
Pozdrawiam
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 149
- Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 13 razy
- Płeć:
Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego
No to napiszę ci co mogłoby być użyteczne
Punkty \(A\) , \(C\) , \(E\) oraz \(E'\) leżą na tej samej prostej
więc odcinki \(AC\) oraz \(AE\) mogą tworzyć albo kąt zerowy albo kąt półpełny
Iloczyn skalarny pozwoliłby stwierdzić jaki otrzymamy kąt co daje nam nierówność
\(\left(x_{E} - x_{A}\right)\left(x_{C} - x_{A}\right)+\left(y_{E} - y_{A}\right)\left(y_{C} - y_{A}\right) > 0\)
Jeżeli współrzędne punktu \(E\) spełniałyby tą nierówność to w kroku 6. prowadzimy prostą prostopadłą
Jak się teraz przyjrzałem temu co ostatnio napisałeś to można by to wykorzystać
Punkty \(A\) , \(C\) , \(E\) oraz \(E'\) leżą na tej samej prostej
więc odcinki \(AC\) oraz \(AE\) mogą tworzyć albo kąt zerowy albo kąt półpełny
Iloczyn skalarny pozwoliłby stwierdzić jaki otrzymamy kąt co daje nam nierówność
\(\left(x_{E} - x_{A}\right)\left(x_{C} - x_{A}\right)+\left(y_{E} - y_{A}\right)\left(y_{C} - y_{A}\right) > 0\)
Jeżeli współrzędne punktu \(E\) spełniałyby tą nierówność to w kroku 6. prowadzimy prostą prostopadłą
Jak się teraz przyjrzałem temu co ostatnio napisałeś to można by to wykorzystać