a i b wielomianu

[WRGLG]

Wyznacz wartości parametrów \(a, b\), jeśli wiadomo, że wielomian \(W(x)= \ ax^3 -5x^2 + b^2x -7 \) przy dzieleniu przez wyrażenie \(\ x^2 + 4 \) daje reszte \(-7x +13\) oraz że wielomian \(W(x)\) przy dzieleniu przez \((x-1)\) daje reszte \(-9\)

jest to zadanie typu abc, do którego odpowiedzią jest \(a = 2, b = 1\) lub \(b = −1\).

[radagast]

podpowiedź: skorzystaj z twierdzenia Bezout

[Jerry]

A ja bym zaczął
\(ax^3 -5x^2 + b^2x -7\equiv(x^2 + 4)(ax+c)+(-7x +13)\)
i dołożył
\(a\cdot1^3 -5\cdot1^2 + b^2\cdot1 -7=(1-1)\cdot p(1)+(-9)\)

Pozdrawiam

[Icanseepeace]

Bardziej ryzykowny sposób:
\( W(x) = ax^3 - 5x^2 + b^2x - 7 \)
Wiemy, że \(W(1) =\color{red}{-} 9\) tzn:
\(\color{red}{-} 9 = a - 5 + b^2 - 7 \)
oraz, że dzieląc przez \( x^2 + 4 \) dostaniemy resztę \( -7x + 13 \)
Dlatego wszędzie gdzie możemy zamiast \( x^2 \) wstawiamy -4 i następnie przyrównujemy to do \( -7x + 13 \):
\( -4ax + 20 + b^2x - 7 = -7x + 13 \So b^2 - 4a = -7 \)
Układ równań:
\( \begin{cases} b^2 + a = 3 \\ b^2 - 4a = -7 \end{cases} \)
bardzo szybko da odpowiedź.

[Jerry]

Mam więcej czasu, więc...
Z 1. równości wynika \(\begin{cases} c=-5\\ 4a-7=b^2\end{cases}\),
z 2. wynika \(a+b^2=3\).
Zatem otrzymamy układ wskazany przez Icanseepeace , którego rozwiązaniem jest
\(\begin{cases}a=2\\b^2=1\end{cases}\)

Pozdrawiam