forum.zadania.info

\( \begin{cases} x'=2x-y-3z \\
y'=2x-y-z \\
z'=x-y-2z \end{cases} \)

Wartości własne wyszly : \(1, -1+i, -1-i\)

wektor własny dla 1 to [1,1,0] a jak wyznaczyć wektory własne dla pozostałych

Jak rozwiązać to zadanie do końca?

Wektory własne to: \(v_{-1+i}= \begin{bmatrix}1\\-i\\1 \end{bmatrix}\\
v_{-1-i}= \begin{bmatrix}1\\i\\1 \end{bmatrix} \)
Policzę dla \(\lambda=-1-i\).
Po podstawieniu do równania na wektor własny \(v= \begin{bmatrix}a\\b\\c \end{bmatrix}\) dostajemy macierz dającą układ równań:
\( \begin{cases}3a-b-3c+ai=0\\2a-c+bi=0\\a-b-c+ci=0 \end{cases} a,b,c\in\cc\\
\begin{cases}3(a-c)-b+ai=0\\2a-c+bi=0\\a-c=b-ci \end{cases} \iff \begin{cases}3(b-ci)-b+ai=0 \\2a-c+bi=0\\a-c=b-ci\end{cases} \iff \begin{cases} (a+3c)i=4b|\cdot i\\bi=c-2a\\a-c=b-ci \end{cases} \iff \begin{cases}-a-3c=4bi\\bi=c-2a\\a-c=b-ci \end{cases} \\
-a-3c=4(c-2a) \iff 7a=7c \iff a=c,\,\,\, bi=a-2a \iff bi=-a \iff b=ia\)

\[ \begin{bmatrix}a\\b\\c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a\\ia\\a \end{bmatrix}=a \begin{bmatrix}1\\i\\1 \end{bmatrix} \\
v_{(-1-i)}= \begin{bmatrix}1\\i\\1 \end{bmatrix} \]

Jeśli problem dotyczył tylko obliczenia wektorów własnych, to ... po sprawie.

Oprócz górnej odpowiedzi:

\(\left\{\begin{matrix}x'=-3\,z-y+2\,x\\y'=-z-y+2\,x\\z'=-2\,z-y+x\end{matrix}\right.\;\rightarrow\;\left\{\begin{matrix}x=\dfrac{C\,\sin\left(t\right)+C_{1}\,\cos\left(t\right)}{e^{t}}+C\,e^{t}\\y=\dfrac{C_{1}\,\sin\left(t\right)-C\,\cos\left(t\right)}{e^{t}}+C\,e^{t}\\z=\dfrac{C\,\sin\left(t\right)+C_{1}\,\cos\left(t\right)}{e^{t}}\end{matrix}\right.\)
link do rozwiązania