Optymalizacja

[Iliasz]

Dana jest funkcja \(f(x) = x^2-2\) oraz prostokąt ograniczony tą funcją oraz osią OX. Oblicz największe możliwe pole tego prostokąta.

[Jerry]

Niech \(A(x,x^2-2),\ B(x,0),\ C(-x,0),\ D(-x,\ x^2-2)\), dla \(x\in(0,\sqrt2)\), będą wierzchołkami prostokąta. Wtedy jego pole opisuje funkcja:
\(y=p(x)=2x(2-x^2)=-2x^3+4x\wedge D=(0;\sqrt2)\)
Ponieważ
\(y'=p'(x)=-6x^2+4=-6\left(x+{\sqrt6\over3}\right)\left(x-{\sqrt6\over3}\right)\wedge D'=D\)
to
\(y'=0\iff x={\sqrt6\over3}\)
i pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny. Zatem
\(p_{\max}=p\left({\sqrt6\over3}\right)=\ldots\)

Pozdrawiam

[Iliasz]

Dziękuję za pomoc.
Chciałbym jeszcze zapytać o jeden fragment rozwiązania.

\(y=p(x)=2x(2-x^2)\)

Funkcja określona jest wzorem \(f(x)=x^2-2\), a Pan napisał \( 2-x^2 \). Czy jeśli funkcja znajduje się ,,pod" osią \(OX\) mogę ją odbić względem osi \(OX\), pamiętając jednocześnie, by współrzędne wierzchołków były \(y \le 0\)? Ja zrobiłem z funkcją daną w zadaniu i maximum wyszło mi dla \(x=- \frac{ \sqrt{6} }{3} \), co było sprzeczne z dziedziną.

Pozdrawiam

[Jerry]

Funkcja określona jest wzorem \(f(x)=x²-2\), a Pan napisał \( 2-x^2 \).

Odległość punktu \(A\) od osi \(ox\), czyli wysokość prostokąta, jest równa \(|y|=|x^2-2|\nad{x\in D}{=}2-x^2\)

Pozdrawiam

[Iliasz]

Dziękuję za wytłumaczenie.

Pozdrawiam

[sunil808]

thank you for sharing solution with us