forum.zadania.info

Punkt O leży wewnątrz trójkąta ABC. Udowodnij, że
\(
\frac{1}{2} \cdot (|AB|+|BC|+|CA|)<|AO|+|BO|+|CO|<|AB|+|BC|+|CA|
\)

Bardzo proszę o pomoc

Przyjmijmy oznaczenia \(1^\circ\)
Z nierówności trójkąta:
\(+\underline{ \begin{cases}x+y>c\\y+z>a\\z+x>b \end{cases}} \\
2x+2y+2z>a+b+c\\
x+y+z>{1\over2}(a+b+c)\)
co czyni zadość pierwszej nierówności
\(2^\circ\)
Lematycznie udowodnijmy: \(x+y<a+b\)
Z nierówności trójkąta
\(+\underline{ \begin{cases}b+a_2>x+x_1\\x_1+a_1>y\end{cases}} \\
b+a+x_1>x+y+x_1\\
b+a>x+y\)
ckd

Analogicznie:
\(b+c>y+z\) oraz \(c+a>z+x\)
Dodaj nierówności stronami i ... druga z nierówności się ukaże

Pozdrawiam

[edited] poprawa bad-click

Super! Bardzo dziękuję!!!