forum.zadania.info

Zadanie jest takie:

Udowodnić, że prawdziwa jest nierówność:
\(\sqrt[3]{3+ \sqrt[3]{3}} +\sqrt[3]{3- \sqrt[3]{3}}<2 \sqrt[3]{3}\)

Korzystam z wypukłości funkcji \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) na przedziale \((0;+\infty)\).
Równanie funkcyjne Jensena:

\(f(\frac{a+b}{2})=\frac{f(a)+f(b)}{2}\)

Czyli podstawiając \(a=3+ \sqrt[3]{3}\) i \(b=3- \sqrt[3]{3}\) otrzymujemy:

\(\frac{1}{2} \left(\sqrt[3]{3+ \sqrt[3]{3}} -\sqrt[3]{3- \sqrt[3]{3}} \right)=\frac{\sqrt[3]{3+ \sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3- \sqrt[3]{3}}}{2}<f \left( \frac{3+\sqrt[3]{3} +3 - \sqrt[3]{3}}{2} \right) =f(3)=\sqrt[3]{3}\)

Teraz pytania: Skąd wziął się minus w pierwszym nawiasie po podstawieniu a i b? Czy to może błąd w książce ("Wędrówki..." pierwsza część str. 207, Z 3.8.1 )? I skąd ta nierówność na środku w dowodzie? Czy to jest ów "równanie" funkcyjne Jensena? I w ogóle jakie znaczenia mają wagi w nierównośći Jensena i kiedy je należy stosować? Jeżeli któreś pytanie jest bez sensu (myślę o ostatnim) to po prostu, Drogi Użytkowniku forum, pomiń je. Z góry dziękuję za wytłumaczenie.

Tu jest rzeczywiście błąd, bo pierwszy znak równości już nie jest prawdziwy (to tylko przepisanie 1/2 sprzed nawiasu i napisanie go w postaci ułamka).
Druga kwestia to nie jest to równanie Jensena, tylko nierówność i kolejny znak nierówności, o który sie dopytujesz pochodzi właśnie stamtąd.
Jeśli chodzi o równanie funkcyjne Jensena, to musi ono spełniac pewne założenia, ale wcale nie chodzi tutaj o funkcję wypukłą np. \(y= \sqrt{x} ; x \ge 0\), bo wtedy np. byłaby spełniona równość
\((\frac{5 \sqrt{2} }{ 2 } =)\sqrt{\frac{9+16}{2}}= \frac{ \sqrt{9}+ \sqrt{16} }{2}= \frac{7}{2}\)
a niewątpliwie nie jest. Za to, jeśli napiszemy nierówność zamiast równania, to będzie ona prawdziwa.
Równanie funcyjne Jensena dotyczy tylko równań funcyjnych (np. addytywnych, różniczkowych, stałych), a funkcje wypukłe nie spełniają warunku.

Dzięki!

Jeszcze jedno pytanie: aby móc zapisać taką nierówność jak w dowodzie \(\frac{f(a)+f(b)}{2} < f \left(\frac{a+b}{2} \right)\) to funkcja musi być wklęsła, oraz \(a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=\frac{1}{n}\). A gdzie w w/w nierówności znajdują się te wagi?

Dobra, już wiem