Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f

[Movie]

\(a) \ \ \ f(x)=x^{3}-3x^{2}-24x+1\)
\(\\)
\(b) \ \ \ f(x)=-3x^{5}-5x^{3}+30x-1\)
\(\\)
\(c) \ \ \ f(x)=x+\frac{9}{x}\)
\(\\)
\(d) \ \ \ f(x)=\frac{x^{4}}{(x \ - \ 1) \ ^{2}}\)
\(\\)
\(e) \ \ \ f(x)=\frac{x^{2} \ + \ 5x \ + \ 5}{x \ + \ 3}\)
\(\\)
\(f) \ \ \ f(x)=\frac{(x \ - \ 1)(x^{2} \ - \ 1)}{x \ + \ 2}\)

[Binio1]

\(a) \ \ \ f(x)=x^{3}-3x^{2}-24x+1\)

\(f'(x) = 3x^2-6x-24\)

\(3x^2-6x-24 = 0\)
\(x^2-2x-8 = 0\)

\(\Delta = 4+32 = 36\)

\(x_{1} = \frac{2-6}{2} = -2\)
\(x_{2} = \frac{8}{2} = 4\)


\(f'(-3) = 21\)
\(f'(0) = -24\)
\(f'(5) = 21\)

Funkcja rośnie w przedziałach \((-\infty; -2] \cup [4; \infty)\)
Funkcja maleje w przedziałach \([-2; 4]\)

[Binio1]

\(b) \ \ \ f(x)=-3x^{5}-5x^{3}+30x-1\)

\(f'(x) = -15x^4 - 15x^2+30\)

\(-15x^4 - 15x^2+30 =\)
\(-x^4-x^2+2 = 0\)

\(t = x^2\)

\(-t^2 -t + 2 = 0\)

\(\Delta_t = 1+8 = 9\)
\(t_{1} = \frac{1-3}{-2} = 1\)
\(t_{2} = \frac{1+3}{-2} = -2\)

\(x^2 = 1\)
\(x = 1\) lub \(x = -1\)

\(x^2 = -2\)
\(x \in \emptyset\)

\(f'(-2) = -270\)
\(f'(0) = 30\)
\(f'(2) = -270\)

Funkcja rośnie w przedziale \([-1; 1]\)
Funkcja maleje w przedziałach \((-\infty; -1] \cup [1; \infty)\)

[Binio1]

\(c) \ \ \ f(x)=x+\frac{9}{x}\)

\(D_{f} \in \rr \bez \left\{0\right\}\)

\(f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2}\)

\(1 - \frac{9}{x^2} = 0\)
\(x^2 - 9 = 0\)
\(x^2 = 9\)
\(x = 3\) lub \(x = -3\)

\(f'(-4) = 0.44\)
\(f'(1) = -8\)
\(f'(4) = 0.44\)

Funkcja rośnie dla \(x \in (-\infty; -3] \cup [3; \infty)\)
Funkcja maleje dla \(x \in [-3; 3]\)

[Movie]

Wydaje mi się, że przy malejącej trzeba uwzględnić również dziedzinę, więc wyjdzie inny przedział.

[Binio1]

\(e) \ \ \ f(x)=\frac{x^{2} \ + \ 5x \ + \ 5}{x \ + \ 3}\)

\(D_{f} \in \rr \bez \left\{-3\right\}\)

\(f'(x) = \frac{(2x+5)(x+3)-(x^2+5x+5)(1)}{(x+3)^2} = \frac{2x^2+6x+5x+15 - x^2-5x-5}{(x+3)^2} = \frac{x^2+6x+10}{(x+3)^2}\)

\(\frac{x^2+6x+10}{(x+3)^2} = 0\)
\(x^2+6x+10 = 0\)

\(\Delta = 36 - 40 = 0\)

Funkcja rośnie w całym przedziale

[Movie]

w e) również należy uwzględnić dziedzinę, wyjdą dwa przedziały (−∞;−3) i (−3;∞)

[Binio1]

Wydaje mi się, że przy malejącej trzeba uwzględnić również dziedzinę, więc wyjdzie inny przedział.

Można zbadać znak pochodnej między -3 a 0

\(f'(-2) = -1.25\) Czyli funkcja napewno maleje

Funkcja napewno maleje w przedziale \([-3; 3]\) oczywiście dla zera nie przyjmuje żadnej wartości.
Jak policzymy granice to widać że funkcja maleje w przedziale \([-3; 0]\) od 0 do \(\infty\)
Natomias w przedziale od 0 do 3 funkcja mleje od \(\infty\) w dół aż do f(3) = 6

[kelly128]

d) \(f(x)= \frac{x^4}{(x-1)^2} \\ D= \rr \bez \left\{ 1 \right\} \\ f'(x)= \frac{2x^3(x-2)}{(x-1)^3} \\ f'(x)=0 \iff x=0 \vee x=2 \\ f'(x)>0 \iff x \in (0;1) \cup (2;+ \infty) \\ f'(x)<0 \iff x \in (- \infty ;0) \cup(1;2)\)

Funkcja rosnącą w przedziałach\(\ \ (0;1) \ \ i \ \ (2;+ \infty)\).
Funkcja malejącą w przedziałach\(\ (- \infty ;0) \ \ i \ \ (1;2)\).

[kelly128]

f) \(f(x)= \frac{(x-1)(x^2-1)}{x+2} \\ D= \rr \bez \left\{ -2 \right\} \\ f' (x)= \frac{2x^3+5x^2-4x-3}{(x+2)^2}= \frac{2(x-1)(x+3)(x+ \frac{1}{2} )}{(x+2)^2} \\ f'(x)=0 \iff x=1 \vee x=-3 \vee x=- \frac{1}{2} \\ f'(x)>0 \iff x \in (-3;-2) \cup (-2; - \frac{1}{2} ) \cup (1;+ \infty) \\ f'(x)<0 \iff x \in (- \infty ; -3) \cup (- \frac{1}{2} ;1)\)

Funkcja rosnącą w przedziałach \((-3;-2) , \ (-2; - \frac{1}{2} ) \ \ i \ \ (1;+ \infty)\).
Funkcja malejącą w przedziałach \((- \infty ; -3) \ \ i \ \ (- \frac{1}{2} ;1)\).