Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania diofantycznego (w liczbach całkowitych):
\(x+y \ = \ (x-y)^{2}\)
Równanie diofantyczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Równanie diofantyczne
Trochę pomogę .
Niech \(\\) \(x-y=t \in Z\)
wtedy : \(x+y= y+t+y=2y+t\)
równanie ma postać : \(2y+t= t^2\) ; \(\\) \(t(t-1)=2y\) .
widać ,że \(t-1,t\) dwie kolejne liczby całkowite , czyli ich iloczyn zawsze jest parzysty.
Przyjmijmy ,że \(t= 2m \in Z\) : \(y=t \cdot (t-1)= m(2m-1)\) ,\(\\) wtedy \(\\) \(x= t+y=m(2m+1)\)
\(\begin{cases}y=m(2m-1)\\ x=m(2m+1) \\ m \in Z \end{cases}\)
Dalej sobie poradzisz .
Niech \(\\) \(x-y=t \in Z\)
wtedy : \(x+y= y+t+y=2y+t\)
równanie ma postać : \(2y+t= t^2\) ; \(\\) \(t(t-1)=2y\) .
widać ,że \(t-1,t\) dwie kolejne liczby całkowite , czyli ich iloczyn zawsze jest parzysty.
Przyjmijmy ,że \(t= 2m \in Z\) : \(y=t \cdot (t-1)= m(2m-1)\) ,\(\\) wtedy \(\\) \(x= t+y=m(2m+1)\)
\(\begin{cases}y=m(2m-1)\\ x=m(2m+1) \\ m \in Z \end{cases}\)
Dalej sobie poradzisz .