Nierówność logarytmiczna
: 27 paź 2016, 18:23
\(\frac{1}{log_2 x}<1+ \frac{1}{log_2 x - 1}\)
Bardzo proszę o szybką pomoc.
Bardzo proszę o szybką pomoc.
\(log_2x=t\;\;\;\;i\;\;\;x>0\;\;\;i\;\;\;x\neq 2\)
\(\frac{1}{t}<1+ \frac{1}{t-1}\\ \frac{1}{t(t-1)}- \frac{t(t-1)}{t(t-1)}- \frac{t}{t(t-1)}<0\\ \frac{1-t^2}{t(t-1)}<0\;/*(-1)\)
\(\frac{t^2-1}{t(t-1)}>0\\ \frac{(t-1)(t+1)}{t(t-1)} >0\\ \frac{t+1}{t}>0\\t(t+1)>0\\t<-1\;\;\;lub\;\;\;t>0\\log_2x<-1\;\;\;lub\;\;\;log_2x>0\)
\(log_2x<log_2{ \frac{1}{2} }\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;log_2x>log_21\)
\(x< \frac{1}{2}\;\;\;\;lub\;\;\;x>1\)
Uwzględniając założenia dotyczące dziedziny otrzymasz:
\(x\in (0; \frac{1}{2}) \cup (1;2) \cup (2;+ \infty )\)