Twierdzenie o trzech ciągach

[TryHard]

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę:

a) \(\Lim_{n\to \infty } = \frac{2n+(-1)^n}{3n+2}\)

b) \(\Lim_{n\to \infty } = \sqrt[n]{ \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^3} }\)

c) \(\Lim_{n\to \infty }= \sqrt[n]{ \frac{3^n+2^n}{5^n+4^n} }\)

d) \(\Lim_{n\to \infty }= ( \frac{1}{n^2+1} + \frac{1}{n^2+2} +...+ \frac{1}{n^2+n} )\)

[michal486]

\(a)\)
\(\frac{2n - 1}{3n + 2} \le \frac{2n + (-1)^n}{3n+2} \le \frac{2n + 1}{3n + 2}\)
oraz
\(lim \frac{2n - 1}{3n + 2} = lim \frac{2n+1}{3n+2} = \frac{2}{3}\)
Zatem, na podstawie twierdzenia o 3 ciągach
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{2n + (-1)^n}{3n+2} = \frac{2}{3}\)

[michal486]

\(d)\)
\(\frac{1}{n^2+n} + \frac{1}{n^2+n} + ... + \frac{n}{n^2+n} \le \frac{1}{n^2+1} + \frac{1}{n^2+2} + ... + \frac{n}{n^2+n} \le \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2}\)
\(\Lim_{n\to \infty } (\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2} + ... + \frac{1}{n^2}) = \Lim_{n\to \infty } ( \frac{1+1+ ... +1}{n^2}) = \Lim_{n\to \infty } ( \frac{n}{n^2} )= \Lim_{n\to \infty } ( \frac{1}{n}) = 0\)
\(\Lim_{n\to \infty }( \frac{1}{n^2+n} + \frac{1}{n^2+n} + ... + \frac{1}{n^2+n}) = \Lim_{n\to \infty }( \frac{1+1+ ... +1}{n^2 + n}) = \Lim_{n\to \infty } ( \frac{1}{n+1} ) = 0\)
Zatem na mocy tw. o 3 ciągach :
\(\Lim_{n\to \infty }(\frac{1}{n^2+1} + \frac{1}{n^2+2} + ... + \frac{1}{n^2+n}) = 0\)

[radagast]

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę:

b) \(\Lim_{n\to \infty } = \sqrt[n]{ \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^3} }\)

\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^3} }\)

\(\sqrt[n]{ \frac{3}{n^3} }<\sqrt[n]{ \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^3} }< \sqrt[n]{ 3\frac{1}{n} }\) (dla dużych n, a tylko takie są ważne)
\(\Lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{ \frac{3}{n^3} }=1\)
\(\Lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{ 3\frac{1}{n} }=1\)
no to
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^3} }=1\)

[radagast]

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę:

c) \(\Lim_{n\to \infty }= \sqrt[n]{ \frac{3^n+2^n}{5^n+4^n} }\)

\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{3^n+2^n}{5^n+4^n} }=\Lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt[n]{3^n+2^n} }{\sqrt[n]{5^n+4^n}} =(...)= \frac{3}{5}\)

[TryHard]

Mam pytanie do podpunktu b)

Czy błędem jest ograniczenie ciągu przez "\(\le\)" zamiast zwykłego \(<\)?
Teoretycznie to niby nie będą sobie równe bo \(n>0\), ale w większości zadań widzę ten pierwszy sposób.

[panb]

Ograniczenie \(\sqrt[n]{ \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^3} }< \sqrt[n]{3 \cdot \frac{3}{n^3} }\) jest nieprawdziwe.
Już dla n=2 nie działa, a dalej jest tylko gorzej.
Lepiej użyć ograniczenia \(\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^3} \le \frac{3}{n}\) prawdziwej dla \(n\ge3\)

Użycie nierówności nieostrej "\(\le\)" jest bezpieczniejsze, no i w twierdzeniu o trzech "budrysach" występuje taka nierówność.

[radagast]

Ograniczenie \(\sqrt[n]{ \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^3} }< \sqrt[n]{3 \cdot \frac{3}{n^3} }\) jest nieprawdziwe.
Już dla n=2 nie działa, a dalej jest tylko gorzej.
Lepiej użyć ograniczenia \(\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^3} \le \frac{3}{n}\) prawdziwej dla \(n\ge3\)

Użycie nierówności nieostrej "\(\le\)" jest bezpieczniejsze, no i w twierdzeniu o trzech "budrysach" występuje taka nierówność.

Oczywiście racje . Ale już poprawiłam i teraz jest ok