forum.zadania.info

Oblicz:

a)\(sin( \pi -4x)=cos6x\)

b)\(sin(log_{ \sqrt{3}} x)=sin(log_3x)\)

\(sin(\pi-\alpha)=sin\alpha\)
a)
Równanie ma postać:
\(sin(4x)=cos(6x)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;cos(6x)=sin(\frac{\pi}{2}-6x)\\
sin4x-sin( \frac{\pi}{2}-6x)=0\\2sin{ \frac{4x- \frac{\pi}{2}+6x }{2}}\cdot cos{ \frac{4x+ \frac{\pi}{2}-6x }{2} }=0\)
\(sin(5x- \frac{\pi}{4})=0\;\;\;\;lub\;\;\;\;cos( \frac{\pi}{4}-x)=0\\5x- \frac{\pi}{4}=k\pi\;\;\;lub\;\;\; \frac{\pi}{4}-x= \frac{\pi}{2}+k\pi\)
\(x= \frac{\pi}{20}+ \frac{k\pi}{5}\;\;\;\;\;lub\;\;\;x=- \frac{\pi}{4} +k\pi\;\;\;\;\;\;\;i\;\;k\in C\)

b)
\(log_{ \sqrt{3} }x= \frac{log_3x}{log_3 \sqrt{3} }= \frac{log_3x}{ \frac{1}{2} }=2log_3x\)
\(sin(log_{ \sqrt{3} }x)=sin(log_3x)\)
\(sin(2log_3x)=sin(log_3x)\;\;\;\;\;log_3x= t\;\;\;\;i\;\;\;x>0\\
sin2t=sint\\sin2t-sint=0\\2sint cost-sint=0\\sint(2cost-1)=0\\sint=0\;\;\;lub\;\;\;\;cost= \frac{1}{2}\\
t=k \pi \;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;\;t= \pm \frac{\pi}{6}+2k\pi\)
powrót do x
\(log_3x=k\pi\;\;\;\; \So \;x=3^{k\pi}\\log_3x=- \frac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\; \So \;x=3^{- \frac{\pi}{6}+2k\pi }\\log_3x= \frac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\;\; \So \;\;\;\;x=3^{ \frac{\pi}{6}+2k\pi }\)