forum.zadania.info

Wykorzystując znane granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granicę





\(\Lim_{x\to 1} \frac{4 \cdot 3^x-3 \cdot 4^x}{2 \cdot 5^x-5 \cdot 2^x}\)

Chodzi o skorzystanie z granicy: \(\Lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a\)
Weźmy \(t=x-1\). Jeżeli \(x \to 1 \So t \to 0\) i ...

\(\Lim_{x\to 1} \frac{4 \cdot 3^x-3 \cdot 4^x}{2 \cdot 5^x-5 \cdot 2^x}= \Lim_{t\to 0 } \frac{4 \cdot 3^{t+1}-3 \cdot 4^{t+1}}{2 \cdot 5^{t+1}-5 \cdot 2^{t+1}}= \Lim_{t\to 0 } \frac{12 \cdot 3^t-12 \cdot 4^t}{10 \cdot 5^t-10 \cdot 2^t}=\Lim_{t\to 0 } \frac{12 \cdot 4^t \left[ \left( \frac{3}{4} \right)^t-1 \right] }{10 \cdot 2^t \left[ \left( \frac{5}{2} \right)^t-1 \right] }=
\Lim_{t\to 0 } \left[2^t \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{ \left[ \left( \frac{3}{4} \right)^t-1 \right] }{x}: \frac{\left[ \left( \frac{5}{2} \right)^t-1 \right]}{x} \right]=\\=2 \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{\ln \frac{3}{4} }{\ln \frac{5}{2} }= ...\)
zapisz to sobie w takiej postaci jak ma być (jest wiele możliwości).