forum.zadania.info

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne wpisane w okrąg o promieniu długości 2. Wyznacz długość wysokości tego z rozpatrywanych trójkątów, którego pole jest największe, oraz oblicz to pole.

\(P(a,x)= \frac{1}{2}a(x+2)\) przy czym \(\left( \frac{a}{2} \right) ^2+x^2=2^2\) czyli \(a=2 \sqrt{4-x^2}, x \in \left\langle0,2 \right\rangle\)
No to mamy pole wyrażone jako funkcję jednej zmiennej:
\(P(x)= \sqrt{4-x^2} \cdot (x+2)= \sqrt{(4-x^2)(x+2)^2}= \sqrt{-x^4-4x^3+16x+16},\ x \in \left\langle0,2 \right\rangle\)
z uwagi na monotoniczność pierwiastka przyjmuje ona największą wartość w tym samym miejscu co funkcja podpierwiastkowa, co nieco uprości nam rachunki.
\(Q(x)=-x^4-4x^3+16x+16,\ x \in \left\langle0,2 \right\rangle\)
\(Q'(x)=-4x^3-12x^2+16=-4(x^3+3x^2-4)=-4(x+2)^2(x-1)\)
taka pochodna zmienia znak w jedynce, a więc \(Q_{max}=Q(1)\) zatem \(P_{max}=P(1)=\sqrt{4-1} \cdot (1+2)=3 \sqrt{3}\)

Odpowiedź: Największe pole ma trójkąt o wysokości \(3\). Pole to wynosi \(3 \sqrt{3}\).

Oznaczam trójkąt równoramienny wpisany jako ABC i środek okręgu opisanego S.
Punkt P jest środkiem podstawy AB trójkąta.
\(|AC|=|BC|\\|SA|=|SB|=|SC|=2\\h=|CP|=2+x\;\;\;\;gdzie\;\;x=|SP|\)
\(P= \frac{1}{2}|AB| \cdot |CP|\\oznaczam\;:\;|CP|=h=2+x\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;|AB|=a\;\;stąd\;\;|AP|= \frac{a}{2}\)
\(SP^2+AP^2=SA^2\\x^2+ \frac{a^2}{4}=4\\x^2=4- \frac{a^2}{4}= \frac{16-a^2}{4}\\x= \frac{ \sqrt{16-a^2} }{2}\)
\(P= \frac{1}{2}a \cdot (2+x)= \frac{1}{2}a \cdot (2+ \frac{ \sqrt{16-a^2} }{2})\)
\(P'(a)= \frac{1}{2}(2+ \frac{ \sqrt{16-a^2} }{2})+ \frac{1}{2}a( \frac{-2a}{4 \sqrt{16-a^2} })=1+ \frac{ \sqrt{16-a^2} }{4}- \frac{a^2}{4 \sqrt{16-a^2} }\)
Przyrównaj pochodną do zera
\(P'=0\\1+ \frac{ \sqrt{16-a^2} }{4}- \frac{a^2}{4\sqrt{16-a^2} }=0\\ 4\sqrt{16-a^2} +16-a^2-a^2=0\\4 \sqrt{16-a^2}=2a^2-16\\2 \sqrt{16-a^2}=a^2-8\\4(16-a^2)=(a^2-8)^2\\a^4-a^2=0\;\;\;\;i\;\;\;a \in (0;4)\\a^2=12\\a=2 \sqrt{3}\\x= \frac{ \sqrt{16-12} }{4}=1\\h=2+x=2+1\\h=3\\P= \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 3 =3 \sqrt{3}\)