wektory i wartości własne

[gruszka]

Oblicz wektory i wartości własne macierzy.
\(\begin{bmatrix}1& 1&0 \\ 1&0&1\\0&1&1 \end{bmatrix}\)

[panb]

A cóż to za problem? Rozwiązujesz równanie \(\det(A-\lambda I)=0 \iff \begin{vmatrix} 1-\lambda&1&0\\1&-\lambda&1\\0&1&1-\lambda\end{vmatrix} =0\)
Jak się nie pomylisz, to otrzymujesz \(\lambda_1=2,\,\,\, \lambda_2=-1,\,\,\, \lambda_3=1\). To wartości własne.
Szukasz wektorów własnych dla każdej z wartości własnych.

• \(\lambda=2,\,\,\, \begin{bmatrix}-1&1&0\\1&-2&1\\0&1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_x\\v_y\\v_z\end{bmatrix} =0 \iff \begin{cases} -x+y=0\\x-2y+z=0\\y-z=0\end{cases}\)

Układ jest oznaczony, \(v_x=v_y=v_z=1\) i wektorem własnym dla wartości własnej \(\lambda=1\) jest wektor \(v_1=[1,1,1]\)

• \(\lambda=-1,\,\,\, \begin{bmatrix}2&1&0\\1&1&1\\0&1&2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_x\\v_y\\v_z\end{bmatrix} =0\)

Tu układ jest nieoznaczony i \(v_2=[- \frac{1}{2}t,t,- \frac{1}{2}t ], t\in\rr\).
Biorąc \(t=-2\), mamy \(v_2=[1,-2,1]\) - wektor własny dla wartości własnej \(\lambda=-1\)

Dla \(\lambda=1\) policz samodzielnie. Mi wyszło \(v_3=[-1,0,1]\)

[gruszka]

A jak wyliczyć te wartości? Wyszło mi \(-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=0\)

[eresh]

A jak wyliczyć te wartości? Wyszło mi \(-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=0\)

to chyba coś nie tak:

\((1-\lambda)^2(-\lambda)-(1-\lambda)-(1-\lambda)=0\\
-\lambda(1-\lambda)^2-2(1-\lambda)=0\\
(1-\lambda)(-\lambda+\lambda^2-2)=0\\
(1-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2)=0\\
(1-\lambda)(\lambda -2)(\lambda +1)=0\\
\lambda=1\\
\lambda =2\\
\lambda =-1\)