ekstrema funkcji

[gruszka]

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji i przedziały monotoniczności (przykład 2,3)
1. \(f(x,y) = \frac{x^2}{ \sqrt{y} } -4x+2y\)
2. \(f(x) = e^{{-x}^3}\)
3. \(f(x)= x^2(1-x)^2\)

[radagast]

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji i przedziały monotoniczności (przykład 2,3)

2. \(f(x) = e^{{-x}^3}\)

\(D=R,D'=R\)
\(f'(x) = -3x^2e^{{-x}^3}\)
\(f'(x) \le 0\) dla \(x \in R\) wniosek: brak ekstremów, funkcja jest malejąca w całej dziedzinie.

[radagast]

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji i przedziały monotoniczności (przykład 2,3)

3. \(f(x)= x^2(1-x)^2\)

\(D=R,D'=R\)
\(f'(x)= 2x(1-x)^2-2x^2(1-x)=2x(1-3x+2x^2)=4x(x-1)(x- \frac{1}{2})\)
\(f'(x)>0 \iff x \in \left( 0, \frac{1}{2} \right) \cup \left(1, \infty \right)\)
wniosek:
funkcja rośnie w przedziałach \(\left< 0, \frac{1}{2} \right>\) oraz \(\left<1, \infty \right)\)
funkcja maleje w przedziałach \(\left( - \infty , 0\right>\) oraz \(\left<\frac{1}{2} ,1\right>\)
funkcja przyjmuje minimum w punktach \(0\) i \(1\) (oba te minima mająwartość \(0\))
funkcja przyjmuje maximum w punkcie \(\frac{1}{2}\) (ma ono wartość \(\frac{1}{16}\))

[radagast]

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji i przedziały monotoniczności (przykład 2,3)
1. \(f(x,y) = \frac{x^2}{ \sqrt{y} } -4x+2y\)

\(f'_x = \frac{2x}{ \sqrt{y} } -4\)
\(f'_y = - \frac{x^2}{2 \sqrt{y^3} }+2\)
w celu wyznaczenia punktów stacjonarnych rozwiążmy układ równań :\(\begin{cases} \frac{2x}{ \sqrt{y} } -4=0\\ - \frac{x^2}{2 \sqrt{y^3} }+2=0\end{cases}\)
o ile nie pomyliłam się w rachunkach wychodzi:
\(\begin{cases}x_1=0\\y_1=0 \end{cases}\ \ \vee \ \ \begin{cases}x_2=2\\y_2=1 \end{cases}\)
Punkt stacjonarny to : \(P_1= \left(2,1 \right)\) ( (0,0) funkcja nie należy do dziedziny)
Policzmy teraz pochodne drugiego rzędu:
\(f''_{xx}= \frac{2}{ \sqrt{y} }\)
\(f''_{xy}= - \frac{x}{\sqrt{y^3} }\)
\(f''_{yx}= - \frac{x}{\sqrt{y^3} }\)
\(f''_{yy}= \frac{3x^3}{5 \sqrt{y^5} }\)
Tworzymy wyznacznik: \(W= \begin{vmatrix}\frac{2}{ \sqrt{y} }&- \frac{x}{\sqrt{y^3} }\\- \frac{x}{\sqrt{y^3} }& \frac{3x^3}{5 \sqrt{y^5} } \end{vmatrix}\)
i liczymy jego wartość w punkcie stacjonarnym:\(W(P_1)= \begin{vmatrix}\frac{2}{ \sqrt{1} }&- \frac{2}{\sqrt{1} }\\- \frac{1}{\sqrt{1} }& \frac{24}{5 \sqrt{1} } \end{vmatrix}=7,6>0\) zatem w punkcie (2,1) funkcja osiąga ekstremum, a ponieważ \(f''_{xx}= \frac{2}{ \sqrt{1} }>0\), to jest to minimum.
Policzmy jeszcze jego wartość:
\(f(2,1) = \frac{4}{ 1 } -8+2=-2\)
Odpowiedź: Jedynym ekstremum funkcji jest minimum równe \(-2\) przyjmowane w punkcie \((2,1)\)

[radagast]

A jakbyś chciał się tego nauczyć, to tu masz pomoc: http://www.matemaks.pl/ekstrema-lokalne ... nnych.html

[gruszka]

A jak obliczyć te punkty (chodzi o działania)?

[eresh]

\(\begin{cases} \frac{2x}{ \sqrt{y} } -4=0\\ - \frac{x^2}{2 \sqrt{y^3} }+2=0\end{cases}\\
\begin{cases}2x=4\sqrt{y}\\ - \frac{x^2}{2 \sqrt{y^3} }+2=0 \end{cases}\\
\begin{cases}x=2\sqrt{y}\\-\frac{4y}{2\sqrt{y^3}}+2=0\end{cases}\\
-\frac{4y}{2\sqrt{y^3}}+2=0\\
\frac{4y}{2\sqrt{y^3}}=2\\
\frac{2y}{\sqrt{y^3}}=2\\
y=\sqrt{y^3}\\
y^2=y^3\\
y^2(1-y)=0\\
y=0\;\; \vee \;\;y=1\\
\begin{cases}y=0\\x=0\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}y=1\\x=2\end{cases}\)