Strona 1 z 1
równanie różniczkowe
: 16 cze 2016, 16:53
autor: kakapipe
\(y'-( \frac{1}{x}sinx)y=-3 \frac{sinx}{x}y^2\)
: 17 cze 2016, 11:41
autor: panb
To wygląda na równanie Bernoulli'ego (jest
\(\,\,y',\,\, y\,\, i\,\, y^2\))
Procedura jest taka:
- obie strony podzielić przez \(y^2\),
- podstawić \(u= \frac{1}{y} \So u'= -\frac{y'}{y^2}\),
- rozwiązać otrzymane równanie liniowe tzn. znaleźć u,
- obliczyć \(y= \frac{1}{u}\)
ad 1.
\(\,\,\frac{y'}{y^2} - \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{y} = -3\frac{\sin x}{x} \,\, / \cdot (-1)\\
-\frac{y'}{y^2} + \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{y} = 3\frac{\sin x}{x}\)
ad2.
\(\,\,u'+ \frac{\sin x}{x}u=3\frac{\sin x}{x}\)
- Potrzebna jest całka z \(\frac{\sin x}{x}\), a nie da się jej wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Istnieje funkcja nazywana sinus całkowy \(Si(x)= \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}dt :\,\, \left[Si(x) \right]'= \frac{\sin x}{x}\). Używając jej można przejść do punktu 3
ad 3.
\(\,\, u=Ce^{-Si(x)}+3 \iff u= \frac{C+3e^{Si(x)}}{e^{Si(x)}}\)
ad 4.
\(\,\,y= \frac{e^{Si(x)}}{C+3e^{Si(x)}}\)
Mam nadzieję, że omawialiście tego sinusa całkowego i takie rozwiązanie jest do przyjęcia.
: 19 cze 2016, 22:49
autor: kakapipe
NIestety nie omawialiśmy .