Ze zbioru
\(D={(x;y) \in \rr ^2 : 0 \le x \le 1 \wedge 2 \le y \le 4}\)
wybieramy losowo punkty (x;y).
W zależności od wartości parametru \(m \in \rr\) obliczyć \(P(y \le x+m)\).
Prawdopodobieństwo geometryczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
A(0; 2), B(1; 2), C(1; 4), D(0; 4).
Pole tego prostokąta jest równe 2.
Prowadzimy proste o równaniu y=x+m, czyli proste równoległe do dwusiecznej I ćwiartki układu.
Jeśli mamy proste przechodzące przez lub poniżej punktu B (czyli dla \(m\le1\)), to
\(P(y\le x+m)=0\)
Jeśli mamy proste przechodzące powyżej punktu B, ale poniżej punktu A (czyli dla \(1<m<2\)), to
proste takie odcinają z prostokąta trójkąt prostokątny o przyprostokątnej równej \(m-1\), czyli trójkąt o polu \(\frac{(m-1)^2}{2}\)
\(P(y\le x+m)=\frac{\frac{(m-1)^2}{2}}{2}=\frac{(m-1)^2}{4}\)
Dla prostej przechodzącej przez punkt A (czyli dla \(m=2\)) mamy trójkąt prostokątny o boku 1, czyli
\(P(y\le x+m)=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}\)
Dla prostych przechodzących powyżej punktu A, ale poniżej punktu C (czyli dla \(2<m<3\)), mamy trapez o podstawach m-2 i m-1 oraz o wysokości 1.
Pole takiego trapezu \(P=\frac{2m-3}{2}\), czyli
\(P(y\le x+m)=\frac{2m-3}{4}\)
Dla prostej przechodzącej przez punkt C (czyli dla \(m=3\)) mamy trapez o podstawach 1 i 2 i o wysokości 1. Pole takiego trapezu \(P=\frac{3}{2}\), czyli
\(P(y\le x+m)=\frac{3}{4}\)
Dla prostych leżących powyżej punktu C, ale poniżej D (czyli dla \(3<m<4\)) mamy część prostokąta z obciętym trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości 4-m. Pole \(P=2-\frac{(4-m)^2}{2}\), czyli
\(P(y\le x+m)=\frac{2-\frac{(4-m)^2}{2}}{2}=\frac{4-(4-m)^2}{4}\)
Dla prostych przechodzących powyżej punktu D oraz prostej przechodzącej przez D (czyli dla m\ge4[/tex]) mamy cały prostokąt, czyli
\(P(y\le x+m)=1\)
Pole tego prostokąta jest równe 2.
Prowadzimy proste o równaniu y=x+m, czyli proste równoległe do dwusiecznej I ćwiartki układu.
Jeśli mamy proste przechodzące przez lub poniżej punktu B (czyli dla \(m\le1\)), to
\(P(y\le x+m)=0\)
Jeśli mamy proste przechodzące powyżej punktu B, ale poniżej punktu A (czyli dla \(1<m<2\)), to
proste takie odcinają z prostokąta trójkąt prostokątny o przyprostokątnej równej \(m-1\), czyli trójkąt o polu \(\frac{(m-1)^2}{2}\)
\(P(y\le x+m)=\frac{\frac{(m-1)^2}{2}}{2}=\frac{(m-1)^2}{4}\)
Dla prostej przechodzącej przez punkt A (czyli dla \(m=2\)) mamy trójkąt prostokątny o boku 1, czyli
\(P(y\le x+m)=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}\)
Dla prostych przechodzących powyżej punktu A, ale poniżej punktu C (czyli dla \(2<m<3\)), mamy trapez o podstawach m-2 i m-1 oraz o wysokości 1.
Pole takiego trapezu \(P=\frac{2m-3}{2}\), czyli
\(P(y\le x+m)=\frac{2m-3}{4}\)
Dla prostej przechodzącej przez punkt C (czyli dla \(m=3\)) mamy trapez o podstawach 1 i 2 i o wysokości 1. Pole takiego trapezu \(P=\frac{3}{2}\), czyli
\(P(y\le x+m)=\frac{3}{4}\)
Dla prostych leżących powyżej punktu C, ale poniżej D (czyli dla \(3<m<4\)) mamy część prostokąta z obciętym trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości 4-m. Pole \(P=2-\frac{(4-m)^2}{2}\), czyli
\(P(y\le x+m)=\frac{2-\frac{(4-m)^2}{2}}{2}=\frac{4-(4-m)^2}{4}\)
Dla prostych przechodzących powyżej punktu D oraz prostej przechodzącej przez D (czyli dla m\ge4[/tex]) mamy cały prostokąt, czyli
\(P(y\le x+m)=1\)
