forum.zadania.info

Udowodnij, że:

\(1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Bardzo prosiłbym o pomoc.

Indukcję znasz ? Jeśli tak to w czym jest problem?
Przykładowe zadania na indukcję masz w poradniku
To robisz analogicznie

Nawet nie zauważyłem, żeś ty fachowiec . Jeśli jednak był problem to pytaj.
Ewentualnie wujek google pomoże

Dowód indukcyjny ma dwa etapy:
1.Sprawdzenie,czy równość jest prawdziwa dla n=1
2.Dowód implikacji,że z prawdziwości dla dowolnego n wynika prawdziwość dla liczby kolejnej,czyli dla (n+1).
Piszesz:
1.
Dla n=1
\(L(1)=1^2=1\\P(1)= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=1\\L(1)=P(1)\)
2.
Zakładasz prawdziwość dla n
i korzystając z tego wzoru dowodzisz prawdziwość dla n+1.
\(Założenie\;indukcyjne:\\1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(Teza\;indukcyjna:\\
1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\)
Dowodzisz tezę indukcyjną korzystając z założenia...
\(L(n+1)=1^2+2^2+362+...+n^2+(n+1)^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2= \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}= \\=\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}= \frac{(n+1)[2n^2+n+6n+6]}{6}= \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=P(n+1)\)

Jasne jest,że \(2n^2+7n+6=2(n+ \frac{3}{2})(n+2)=(2n+3)(n+2)\) ,możesz to potwierdzić licząc deltę i miejsca zerowe
i przedstawić trójmian w postaci iloczynowej.

Dlaczego dla \(n=1\) \(L(1)=1^2\), a co z resztą \(1^2+2^2+...+\)?

Zauważ, że dodajesz kwadraty kolejnych liczb naturalnych od 1do n.
Dla n=1 mamy L=\(1^2\)
Dla n=2 mamy L=\(1^2+2^2\)
... itd.

Okej dzięki bardzo

A nieindukcyjnie np. tak:
\(S_n=\sum\limits_{k=0}^nk^3\\
S_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=0}^n(k+1)^3=\sum\limits_{k=0}^nk^3+3\sum\limits_{k=0}^nk^2+3\sum\limits_{k=0}^nk+\sum\limits_{k=0}^n1\\
S_{n+1}-S_n=(n+1)^3=3\sum\limits_{k=0}^nk^2+3\sum\limits_{k=0}^nk+\sum\limits_{k=0}^n1=3\sum\limits_{k=0}^nk^2+\frac{3n(n+1)}{2}+n+1\\
\sum\limits_{k=1}^nk^2=\sum\limits_{k=0}^nk^2=\frac{1}{3}\left((n+1)^3-\frac{3n(n+1)}{2}-(n+1)\right)=\frac{(n+1)(2(n+1)^2-3n-2)}{6}
=\frac{(n+1)(2n^2+n)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)