Niech x należy do R-{x:x=k pi/2, k należy do C}.
a) Wykaż, że tgx= (2tg x/2)/(1- tg^2[x/2])
b) Korzystając ze wzoru z punktu a), oblicz tg pi/12
Niech x należy do R-{x:x=k pi/2, k należy do C}
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(tgx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}}{cos^2{\frac{x}{2}}-sin^2{\frac{x}{2}}}=\)
\(=\frac{2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}}{cos^2{\frac{x}{2}}-cos^2{\frac{x}{2}}\cdot tg^2{\frac{x}{2}}}=\)
\(=\frac{2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}}{cos^2{\frac{x}{2}}(1-tg^2{\frac{x}{2}})}=\)
\(=\frac{2sin{\frac{x}{2}}}{cos{\frac{x}{2}}(1-tg^2{\frac{x}{2}})}=\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}\)
\(sinx=tgx\cdot cosx\)
\(=\frac{2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}}{cos^2{\frac{x}{2}}-cos^2{\frac{x}{2}}\cdot tg^2{\frac{x}{2}}}=\)
\(=\frac{2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}}{cos^2{\frac{x}{2}}(1-tg^2{\frac{x}{2}})}=\)
\(=\frac{2sin{\frac{x}{2}}}{cos{\frac{x}{2}}(1-tg^2{\frac{x}{2}})}=\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}\)
\(sinx=tgx\cdot cosx\)
b)
\(tg{\frac{\pi}{6}}=\frac{2tg{\frac{\pi}{12}}}{1-tg^2{\frac{\pi}{12}}}\)
\(tg{\frac{\pi}{12}}=t\)
\(\frac{2t}{1-t^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\1-t^2=2\sqrt{3}t\\t^2+2\sqrt{3}t-1=0\\\Delta=12+4=16\\t>0\\t=\frac{-2\sqrt{3}+4}{2}=2-\sqrt{3}\ \vee\ t=\frac{-2\sqrt{3}-4}{2}<0\\tg{\frac{\pi}{12}}=2-\sqrt{3}\)
\(tg{\frac{\pi}{6}}=\frac{2tg{\frac{\pi}{12}}}{1-tg^2{\frac{\pi}{12}}}\)
\(tg{\frac{\pi}{12}}=t\)
\(\frac{2t}{1-t^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\1-t^2=2\sqrt{3}t\\t^2+2\sqrt{3}t-1=0\\\Delta=12+4=16\\t>0\\t=\frac{-2\sqrt{3}+4}{2}=2-\sqrt{3}\ \vee\ t=\frac{-2\sqrt{3}-4}{2}<0\\tg{\frac{\pi}{12}}=2-\sqrt{3}\)