forum.zadania.info

Zadanie


NIech \(G=\left\{ \left[
\begin{array}{cc}
1-2a & -2a\\
2a & 1+2a
\end{array}
\right]
\qquad \in M_{2x2}( \rr ): a \in \rr \right\}\). Wykazać, że (G \circ ) tworzy grupę.


b) Udowodnić, że odwzorowanie \(\varphi\) zdefiniowane wzorem \(\varphi \left( \left[
\begin{array}{cc}
1-2a & -2a\\
2a & 1+2a
\end{array}
\right]
\qquad \right)=2a\) jest izomorfizmem grup G i \(\rr\)

\(a)\\g_1\circ g_2=\begin{bmatrix}1-2a&-2a\\2a&1+2a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1-2b&-2b\\2b&1+2b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-2(a+b)&-2(a+b)\\2(a+b)&1+2(a+b)\end{bmatrix}\in G\\
e=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\quad(\text{dla }a=0)\\
\det\begin{bmatrix}1-2a&-2a\\2a&1+2a\end{bmatrix}=1\ne 0\quad\Rightarrow\quad\text{ element odwrotny istnieje}\\\)
Łączność działania wynika z własności mnożenia macierzy.

\(b)\\
\varphi(g_1\circ g_2)=\varphi\left(\begin{bmatrix}1-2(a+b)&-2(a+b)\\2(a+b)&1+2(a+b)\end{bmatrix}\right)=2(a+b)=\\=\varphi\left(\begin{bmatrix}1-2a&-2a\\2a&1+2a\end{bmatrix}\right)+\varphi\left(\begin{bmatrix}1-2b&-2b\\2b&1+2b\end{bmatrix}\right)=\varphi(g_1)+\varphi(g_2)\\\)
Oczywiste jest też, że \(\varphi\) jest bijekcją.