parametr m w podstawie logarytmu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
pankleks1000
- Rozkręcam się
- Posty: 62
- Rejestracja: 25 mar 2016, 23:23
- Lokalizacja: Usa
- Podziękowania: 36 razy
- Płeć:
- Kontakt:
parametr m w podstawie logarytmu
Wyznacz wszystkie wartosci parametru m, dla których równanie \(log_m(x^2-4x+4)=2\) ma dwa różne dodatnie rozwiązania.
-
pytajnik++
- Moderator
- Posty: 107
- Rejestracja: 12 sie 2015, 18:11
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 80 razy
Mamy funkcje \(log_m(x^2-4x+4)=2\)
rozpatrzmy przypadki ze wzgledu na podstawe logarytmu:
\(1^o\) \(m \in (0;1)\)
Mamy wiec z definicji logarytmu:
\(m^2=x^2-4x+4\)
\(x^2-4x+4-m^2=0\)
aby to rownanie mialo dwa rozne dodatnie rozwiazania potrzebujemy takich warunkow(wykorzystamy wzory Viete'a):
\(\Delta >0 \iff 16-16+4m^2>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1x_2>0 \iff \frac{4}{1}>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1+x_2>0 \iff \frac{4-m^2}{1}>0 \iff m^2-4<0 \iff m \in (-2;2)\)
Zatem sumujac wszystkie te warunki, wlacznie z tym ze \(m \in (0;1)\) mamy \(m \in (0;1)\)
teraz drugi przypadek \(2^o\) \(m \in (1;+ \infty )\)
tu robimy dokladnie to samo co w pierwszym przypadku.
mamy z definicji logarytmu:
\(m^2=x^2-4x+4\)
\(x^2-4x+4-m^2=0\)
aby to rownanie mialo dwa rozne dodatnie rozwiazania potrzebujemy takich warunkow(wykorzystamy wzory Viete'a):
\(\Delta >0 \iff 16-16+4m^2>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1x_2>0 \iff \frac{4}{1}>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1+x_2>0 \iff \frac{4-m^2}{1}>0 \iff m^2-4<0 \iff m \in (-2;2)\)
Zatem sumujac wszystkie te warunki, wlacznie z tym ze \(m \in (1;+ \infty )\) mamy \(m \in (1;2)\)
Ostatecznie nasza odpowiedz to \(m \in (0;1) \cup (1;2)\)
rozpatrzmy przypadki ze wzgledu na podstawe logarytmu:
\(1^o\) \(m \in (0;1)\)
Mamy wiec z definicji logarytmu:
\(m^2=x^2-4x+4\)
\(x^2-4x+4-m^2=0\)
aby to rownanie mialo dwa rozne dodatnie rozwiazania potrzebujemy takich warunkow(wykorzystamy wzory Viete'a):
\(\Delta >0 \iff 16-16+4m^2>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1x_2>0 \iff \frac{4}{1}>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1+x_2>0 \iff \frac{4-m^2}{1}>0 \iff m^2-4<0 \iff m \in (-2;2)\)
Zatem sumujac wszystkie te warunki, wlacznie z tym ze \(m \in (0;1)\) mamy \(m \in (0;1)\)
teraz drugi przypadek \(2^o\) \(m \in (1;+ \infty )\)
tu robimy dokladnie to samo co w pierwszym przypadku.
mamy z definicji logarytmu:
\(m^2=x^2-4x+4\)
\(x^2-4x+4-m^2=0\)
aby to rownanie mialo dwa rozne dodatnie rozwiazania potrzebujemy takich warunkow(wykorzystamy wzory Viete'a):
\(\Delta >0 \iff 16-16+4m^2>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1x_2>0 \iff \frac{4}{1}>0 \iff m \in \rr\)
\(x_1+x_2>0 \iff \frac{4-m^2}{1}>0 \iff m^2-4<0 \iff m \in (-2;2)\)
Zatem sumujac wszystkie te warunki, wlacznie z tym ze \(m \in (1;+ \infty )\) mamy \(m \in (1;2)\)
Ostatecznie nasza odpowiedz to \(m \in (0;1) \cup (1;2)\)