1.Trójmian kwadratowy \(x^2+bx+c\) ma dwa różne pierwiastki całkowite, oba różne od zera, a suma jego
współczynników \(1+b+c\) jest liczbą pierwszą. Wskaż przykład trójmianu spełniającego warunki
zadania. Uzasadnij, że jednym z pierwiastków tego trójmianu jest liczba \(2\).
Trójmian kwadratowy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
pytajnik++
- Moderator
- Posty: 107
- Rejestracja: 12 sie 2015, 18:11
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 80 razy
Re: Trójmian kwadratowy
Zacznijmy od konca. Mamy trojmian
\(x^2+bx+c\)
Wykorzystujac wzory Viete'a mozemy warunek \(1+b+c\) zapisac w postaci (poniewaz \(- \frac{b}{a}=-b=x_1+x_2 \iff b=-x_1-x_2\) oraz \(\frac{c}{a} =c=x_1x_2\)):
\(1-x_1-x_2+x_1x_2\), gdzie \(x_1, \space x_2\) to pierwiastki danego trojmianu.
Piszemy dalej:
\(x_2x_1-x_2-x_1+1\)
\(x_2(x_1-1)-(x_1-1)\)
\((x_1-1)(x_2-1)\)
Powyzszy warunek zapisalismy przy pomocy rownowaznosci wiec otrzymane wyrazenie jest rowniez liczba pierwsza, a skoro tak to jeden z tych czynnikow jest jedynka(bo liczba pierwsza to iloczyn jedynki i jej samej), wiec powiedzmy ze jest to pierwszy czynnik i mamy:
\(x_1-1=1 \iff x_1=2\)
Tak wiec przy tych warunkach liczba \(2\) jest zawsze jednym z pierwiastkow.
Teraz latwo podac przyklad, poniewaz jest to kazdy trojmian postaci \((x-2)(x-C)\), gdzie \(C\) jest odpowiednia liczba calkowita spelniajaca warunki zadania.
Jako przyklad mozna podac trojmian: \(x^2-5x+6\) ( jest to nic innego niz zwykle \((x-2)(x-3)\))
\(x^2+bx+c\)
Wykorzystujac wzory Viete'a mozemy warunek \(1+b+c\) zapisac w postaci (poniewaz \(- \frac{b}{a}=-b=x_1+x_2 \iff b=-x_1-x_2\) oraz \(\frac{c}{a} =c=x_1x_2\)):
\(1-x_1-x_2+x_1x_2\), gdzie \(x_1, \space x_2\) to pierwiastki danego trojmianu.
Piszemy dalej:
\(x_2x_1-x_2-x_1+1\)
\(x_2(x_1-1)-(x_1-1)\)
\((x_1-1)(x_2-1)\)
Powyzszy warunek zapisalismy przy pomocy rownowaznosci wiec otrzymane wyrazenie jest rowniez liczba pierwsza, a skoro tak to jeden z tych czynnikow jest jedynka(bo liczba pierwsza to iloczyn jedynki i jej samej), wiec powiedzmy ze jest to pierwszy czynnik i mamy:
\(x_1-1=1 \iff x_1=2\)
Tak wiec przy tych warunkach liczba \(2\) jest zawsze jednym z pierwiastkow.
Teraz latwo podac przyklad, poniewaz jest to kazdy trojmian postaci \((x-2)(x-C)\), gdzie \(C\) jest odpowiednia liczba calkowita spelniajaca warunki zadania.
Jako przyklad mozna podac trojmian: \(x^2-5x+6\) ( jest to nic innego niz zwykle \((x-2)(x-3)\))