równanie kwadratowe z parametrem m

[Angie84]

zad. Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \((1-m)x^2+2x+m+1=0\) ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału \((-2,2)\).

[eresh]

1.
\(1-m\neq 0\\
m\neq 1\)

2.
\(\Delta>0\\
4-4(1-m)(1+m)>0\\
1-(1-m^2)>0\\
m^2>0\\
m\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

3.
\((1-m)f(-2)>0\\
(1-m)((1-m)\cdot 4-4+m+1)>0\\
(1-m)(4-4m+m-3)>0\\
(1-m)(1-3m)>0\\
m\in (-\infty, \frac{1}{3})\cup (1,\infty)\)

4.
\((1-m)f(2)>0\\
(1-m)((1-m)\cdot 4+4+m+1)>0\\
(1-m)(4-4m+4+m+1)>0\\
(1-m)(-3m+9)>0\\
m\in (-\infty,1)\cup (3,\infty)\)


\(m\in (-\infty, \frac{1}{3})\cup (3,\infty)\setminus\{0\}\)

[Angie84]

Można prosić o wytłumaczenie dlaczego mnożymy \(a=1-m\) przez \(f(-2)\) ( i analogicznie 4. \((1-m)f(2)\)) i skąd wiemy że jest to większe 0.

[octahedron]

Parabola musi przecinać oś \(x\) w punktach pomiędzy \(-2\) i \(2\). Jeśli \(a>0\), to ma ramiona w górę, wtedy \(f(-2)\) i \(f(2)\) są dodatnie, gdy \(a<0\), to ramiona w dół i \(f(-2)\) i \(f(2)\) ujemne. Oba przypadki można zapisać razem właśnie w taki sposób jak wyżej.

[Angie84]

Dziękuje za odpowiedz.

[octahedron]

Trzeba tu jeszcze sprawdzić, czy wierzchołek paraboli leży między \(-2\) i \(2\):

\(-2<\frac{-2}{2(1-m)}<2\\
-2<\frac{1}{m-1}<2\\
\frac{1}{|m-1|}<2\\
|m-1|>\frac{1}{2}\\
m\in\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2},\infty\right)\)

Akurat tutaj nic to nie zmienia w ostatecznym wyniku.