Równanie okręgu opisanego na trójkącie

[Areage]

Witam,
Znajdź równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A=() B=(8;-2) C=(9;1) .

Zadanie zrobiłem, jednak chciałem je również rozwiązać za pomocą wektorów których jeszcze nie do końca rozumiem.
W odpowiedziach jest coś takiego: \vec{AB} = [7,-7] = 7*[1,-1] , więc równanie symetralnej ma postać x-y+c=0.
I tu moje pytanie, dlaczego tak? Nie powinniśmy wziąć połowy tego wektora jako że liczymy symetralną?

[Galen]

Podaj pełną treść zadania.
Myślę,że chodzi Ci o równanie prostej prostopadłej do danego wektora lub równoległej do wektora.
Prosta o równaniu \(Ax+By+C=0\) jest prostopadła do wektora \(\vec{w}=[A;B]\)
i równoległa do wektora \(\vec{u}=[B;-A]\)

[Areage]

Pełna treść zadania jest podana pod "witam," . Nie do końca rozumiem znaczenie wektorów w matematyce. Wzięto 1/7 tego wektora tylko dla ułatwienia obliczeń ?

[Galen]

Nie ma pełnej treści,bo nie podajesz punktu A.
7 wyłączono dla ułatwienia rachunków.

[Areage]

A=(1,5), przepraszam nie zauważyłem że nie dopisałem A.

[Galen]

Mając dane wierzchołki ,łatwo policzysz współrzędne wektorów odpowiadających bokom trójkąta.
Następnie przez środki boków poprowadzisz proste prostopadłe.
Punkt przecięcia tych prostych jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.
\(\vec{AB}=[8-1;-2-5]=[7;-7]=7 \cdot [1;-1]\)
Prostopadła ma równanie:
\(x-y+k=0\;\;\;\;przez\;środek\;AB\;( \frac{9}{2}; \frac{3}{2})\\ \frac{9}{2}- \frac{3}{2}+k=0\\k=-3\)
Symetralna boku AB ma równanie:
\(x-y-3=0\\czyli\\y=x-3\)
\(\vec{AC}=[9-1;1-5]=[8;-4]=4 \cdot [2;-1]\)
Prostopadła ma równanie:
\(2x-y+m=0\;\;\;przez\;środek\;AC\;\;(5;3)\\10-3+m=0\\m=-7\)
Symetralna boku AC ma równanie:
\(2x-y-7=0\\y=2x-7\)
Środek okręgu opisanego jest punktem wspólnym obu symetralnych.
\(\begin{cases} y=x-3\\y=2x-7\end{cases}\)
\(2x-7=x-3\\x=4\\y=1\)
\(S=(4;1)\\A=(1;5)\\R=|AS|= \sqrt{9+16}=5\)
Równanie okręgu opisanego:
\((x-4)^2+(y-1)^2=25\)