Własności logarytmów
: 07 paź 2015, 13:33
Zadanie 1
Oblicz:
a) \(\log_{12}2 + \log_{12}8+ \log_{12}9\)
b) \(\log _{3} \frac{1}{12}+ \log_{3} \frac{14}{15}+\log_{3} \frac{10}{21}\)
c) \(\log0,12-\log0,3+\log25\)
d) \(\log_{0,2}0,3-\log_{0,2}0,5-\log_{0,2}15\)
Zadanie 2
Wykaż, że dla dowolnych x,y,z \(\in\) \(R_{+}\) podana równość jest prawdziwa
a) \(\log x^2y^2=\log x+\log y+\log xy\)
b) \(\log \frac{1}{xy^2}-\log x^{-1}= - \frac{1}{2}\log y^4\)
c) \(\log xyz=\log \frac{x}{y} +\log y^{2}z\)
d) \(\log xy +\log \frac{z^2}{y} =\log xyz - \log \frac{y}{z}\)
e) \(2 \log \frac{x^3}{y} - 3 \log x^2z=2 \log ( \frac{y}{z} )^{-1}- 5 \log z\)
Zadanie 3
Podaj dziedzinę wyrażenia, a następnie przedstaw je w postaci logarytmu pewnej liczby
a) \(\log x^3 + 2 \log x\)
b) \(\log \sqrt{x} - \frac{3}{2} \log x\)
c) \(\frac{1}{2} \log x^4 +1\)
d) \(1-2 \log _{ \frac{1}{2} } x\)
e) \(2 \log _3 x + \log _3 y +1\)
f) \(\frac{1}{3} \log _5 8x^3 - 2 \log _5 y \sqrt{x}+ \frac{1}{2}\)
g) \(\frac{1}{2} \log _2x- \log _2y -2\)
h) \(\frac{1}{2} \log 4x^4 + \frac{1}{3} \log 8x^6 + \frac{1}{4} \log 16x^8 -3\)
Zadanie 4
Oblicz:
a) \((2 \log _{8} \sqrt{2} + \log _{8}32-1)^{ \log_3 {5}}\)
b) \(( \log _2 \frac{1}{8}- \log _3 \frac{3}{2} + \log _3 4,5 )^{ \log _{\sqrt{2} }4}\)
c) \(6^{0,25 \log _6 81-2 \log _6 0,5}\)
d) \(9 ^{ \log _{64}4+0,5 \log _{27}3}\)
Zadanie 5
Niech x będzie taką samą liczbą, że \(\log _3x = - \frac{1}{4}. Oblicz\)
a) \(\log _3 9x^8\)
b) \(\log _3 \frac{x^4}{81}\)
c) \(\log _3 \sqrt[4]{3x^6}\)
d) \(\log _3 \frac{27 \sqrt[3]{x} }{x}\)
Zadanie 6
Wyraź liczbę a za pomocą p = \(\log 2\)
a) \(a = \log 200\)
b) \(a = \log 0,02\)
c) \(a = \log 0,04\)
d) \(a = \log 1600\)
Zadanie 7.
Wyraź liczbę a za pomocą p i q, jeśli p=\(\log _3 2\) oraz \(q= \log _3 5\)
a) \(a= \log _3 20\)
b) \(a= \log_3 100\)
c) \(a=\log_3 \frac{2}{25}\)
d) \(a=\log_3 0,4\)
e) \(a=\log_3 3 \frac{1}{8}\)
f) \(a=\log_3 \frac{ \sqrt{5} }{2}\)
g) \(a=\log_3 \sqrt{10}\)
h) \(a=\log_3 0,2 \sqrt{2}\)
Zadanie 8.
Oblicz przybliżoną wartość logarytmu, jeśli \(\log4 \approx 0,6\) oraz \(\log5 \approx 0,7.\)
a) \(\log80\)
b) \(\log50\)
c) \(\log \frac{5}{4}\)
d) \(\log0,5\)
e) \(\log2,5\)
f) \(\log0,64\)
g) \(\log5 \sqrt{2}\)
h) \(\log25 \sqrt[3]{4}\)
Odpowiedzi:
1. a) 2, b) -3. c) 1, d) 2
3. a) \(x > 0, \log x^5\)
b) \(x > \log \frac{1}{x}\)
c) \(x \neq 0, \log 10x^2\)
d) \(x > 0, \log _{ \frac{1}{2} } \frac{1}{2x^2}\)
e) \(x > 0, y >0, \log _3 3x^2y\)
f) \(x > 0, y > 0, \log _5 \frac{2 \sqrt{5} }{y^2}\)
g) \(x > 0, y > 0, \log _2 \frac{ \sqrt{x} }{4y}\)
h) \(x \neq 0, \log \frac{x^6}{125}\)
4. a) 1, b) 16, c) 12, d) 3
5. a) 0, b) -5, c) \(- \frac{1}{8} d) 3 \frac{1}{6}\)
6. a) 2 + p, b) p-2, c) 2p-2, D) 4p+2
7. a) 2p+q, b) 2p+2q, c) p-2q, d) p-q, e) 2q-3p, f) \(\frac{1}{2} q-p\)
g) \(\frac{1}{2} p + \frac{1}{2} q\), h) \(\frac{1}{2}p-q\)
8. a) 1,9 b) 1,7 c) 0,1 d) -0,3 e) 0,4 f) -0,2 g) 0,85 h) 1,6
Oblicz:
a) \(\log_{12}2 + \log_{12}8+ \log_{12}9\)
b) \(\log _{3} \frac{1}{12}+ \log_{3} \frac{14}{15}+\log_{3} \frac{10}{21}\)
c) \(\log0,12-\log0,3+\log25\)
d) \(\log_{0,2}0,3-\log_{0,2}0,5-\log_{0,2}15\)
Zadanie 2
Wykaż, że dla dowolnych x,y,z \(\in\) \(R_{+}\) podana równość jest prawdziwa
a) \(\log x^2y^2=\log x+\log y+\log xy\)
b) \(\log \frac{1}{xy^2}-\log x^{-1}= - \frac{1}{2}\log y^4\)
c) \(\log xyz=\log \frac{x}{y} +\log y^{2}z\)
d) \(\log xy +\log \frac{z^2}{y} =\log xyz - \log \frac{y}{z}\)
e) \(2 \log \frac{x^3}{y} - 3 \log x^2z=2 \log ( \frac{y}{z} )^{-1}- 5 \log z\)
Zadanie 3
Podaj dziedzinę wyrażenia, a następnie przedstaw je w postaci logarytmu pewnej liczby
a) \(\log x^3 + 2 \log x\)
b) \(\log \sqrt{x} - \frac{3}{2} \log x\)
c) \(\frac{1}{2} \log x^4 +1\)
d) \(1-2 \log _{ \frac{1}{2} } x\)
e) \(2 \log _3 x + \log _3 y +1\)
f) \(\frac{1}{3} \log _5 8x^3 - 2 \log _5 y \sqrt{x}+ \frac{1}{2}\)
g) \(\frac{1}{2} \log _2x- \log _2y -2\)
h) \(\frac{1}{2} \log 4x^4 + \frac{1}{3} \log 8x^6 + \frac{1}{4} \log 16x^8 -3\)
Zadanie 4
Oblicz:
a) \((2 \log _{8} \sqrt{2} + \log _{8}32-1)^{ \log_3 {5}}\)
b) \(( \log _2 \frac{1}{8}- \log _3 \frac{3}{2} + \log _3 4,5 )^{ \log _{\sqrt{2} }4}\)
c) \(6^{0,25 \log _6 81-2 \log _6 0,5}\)
d) \(9 ^{ \log _{64}4+0,5 \log _{27}3}\)
Zadanie 5
Niech x będzie taką samą liczbą, że \(\log _3x = - \frac{1}{4}. Oblicz\)
a) \(\log _3 9x^8\)
b) \(\log _3 \frac{x^4}{81}\)
c) \(\log _3 \sqrt[4]{3x^6}\)
d) \(\log _3 \frac{27 \sqrt[3]{x} }{x}\)
Zadanie 6
Wyraź liczbę a za pomocą p = \(\log 2\)
a) \(a = \log 200\)
b) \(a = \log 0,02\)
c) \(a = \log 0,04\)
d) \(a = \log 1600\)
Zadanie 7.
Wyraź liczbę a za pomocą p i q, jeśli p=\(\log _3 2\) oraz \(q= \log _3 5\)
a) \(a= \log _3 20\)
b) \(a= \log_3 100\)
c) \(a=\log_3 \frac{2}{25}\)
d) \(a=\log_3 0,4\)
e) \(a=\log_3 3 \frac{1}{8}\)
f) \(a=\log_3 \frac{ \sqrt{5} }{2}\)
g) \(a=\log_3 \sqrt{10}\)
h) \(a=\log_3 0,2 \sqrt{2}\)
Zadanie 8.
Oblicz przybliżoną wartość logarytmu, jeśli \(\log4 \approx 0,6\) oraz \(\log5 \approx 0,7.\)
a) \(\log80\)
b) \(\log50\)
c) \(\log \frac{5}{4}\)
d) \(\log0,5\)
e) \(\log2,5\)
f) \(\log0,64\)
g) \(\log5 \sqrt{2}\)
h) \(\log25 \sqrt[3]{4}\)
Odpowiedzi:
1. a) 2, b) -3. c) 1, d) 2
3. a) \(x > 0, \log x^5\)
b) \(x > \log \frac{1}{x}\)
c) \(x \neq 0, \log 10x^2\)
d) \(x > 0, \log _{ \frac{1}{2} } \frac{1}{2x^2}\)
e) \(x > 0, y >0, \log _3 3x^2y\)
f) \(x > 0, y > 0, \log _5 \frac{2 \sqrt{5} }{y^2}\)
g) \(x > 0, y > 0, \log _2 \frac{ \sqrt{x} }{4y}\)
h) \(x \neq 0, \log \frac{x^6}{125}\)
4. a) 1, b) 16, c) 12, d) 3
5. a) 0, b) -5, c) \(- \frac{1}{8} d) 3 \frac{1}{6}\)
6. a) 2 + p, b) p-2, c) 2p-2, D) 4p+2
7. a) 2p+q, b) 2p+2q, c) p-2q, d) p-q, e) 2q-3p, f) \(\frac{1}{2} q-p\)
g) \(\frac{1}{2} p + \frac{1}{2} q\), h) \(\frac{1}{2}p-q\)
8. a) 1,9 b) 1,7 c) 0,1 d) -0,3 e) 0,4 f) -0,2 g) 0,85 h) 1,6