forum.zadania.info

Wykaż, że jeżeli żadne dwie spośród liczb a,b,c nie są równe oraz liczby \(\left( a-b\right)^2, \left( b-c\right)^2, \left( c-a\right)^2\) tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby \(\frac{1}{b-a}, \frac{1}{c-b}\) i \(\frac{1}{a-c}\) również tworzą ciąg arytmetyczny

Rozwiazanie:

Do udowodnienia mamy:

\(\frac{2}{c-b} = \frac{1}{b-a} + \frac{1}{a-c}/ \cdot (c-b)(b-a)(a-c)\)
\(2(b-a)(a-c)=(c-b)(a-c)+(c-b)(b-a)\)
\(2(ab-bc-a^2+ac)=ac-c^2-ab+bc+bc-ac-b^2+ab\)
\(2ab-2bc-2a^2+2ac=2bc-c^2-b^2/ \cdot (-1)\)
\(2a^2+2bc-2ab-2ac=c^2+b^2-2bc\)
\(2a^2-2ab-2ac=c^2-4bc+b^2/+c^2/+b^2\) (dodaje stronami \(c^2\) i \(b^2\))
\(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2=2(c^2-2bc+b^2)\)
\((a-b)^2+(c-a)^2=2(b-c)^2\)

czy takie rozwiazanie jest w porzadku? Czy mozna przyjac od początku ze \(\frac{2}{c-b} = \frac{1}{b-a} + \frac{1}{a-c}\)?

Tak, to rozwiązanie jest w porządku.
Rozumowanie jest takie:
liczby \(\frac{1}{b-a}, \frac{1}{c-b}\) i \(\frac{1}{a-c}\) tworzą ciąg arytmetyczny \(\iff\)
\(\frac{2}{c-b} = \frac{1}{b-a} + \frac{1}{a-c} \iff\)
\(2(b-a)(a-c)=(c-b)(a-c)+(c-b)(b-a) \iff\)
\(2(ab-bc-a^2+ac)=ac-c^2-ab+bc+bc-ac-b^2+ab \iff\)
\(2ab-2bc-2a^2+2ac=2bc-c^2-b^2 \iff\)
\(2a^2+2bc-2ab-2ac=c^2+b^2-2bc \iff\)
\(2a^2-2ab-2ac=c^2-4bc+b^2 \iff\)
\(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2=2(c^2-2bc+b^2) \iff\)
\((a-b)^2+(c-a)^2=2(b-c)^2 \iff\\\) liczby \(\left( a-b\right)^2, \left( b-c\right)^2, \left( c-a\right)^2\) tworzą ciąg arytmetyczny

Czyli: nie przyjęto założenia , że ciąg jest arytmetyczny tylko pokazano równoważność tego założenia z "arytmetycznością" ciągu\(\left( a-b\right)^2, \left( b-c\right)^2, \left( c-a\right)^2\)