forum.zadania.info

16. Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.


15.Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)= \frac{m^2+m-6}{m-5}x^2-(m-2)x+m-5\) dla każdej liczby
rzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje
wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

14. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość\(8 \sqrt{3}\)
jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze 30°. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość \(4 \sqrt{5}\) . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.

13. Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

12. Dany jest trójkąt ABC , w którym BC = a . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa \(\frac{2}{3} a\)

Ciapek19872103 pisze:
15.Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)= \frac{m^2+m-6}{m-5}x^2-(m-2)x+m-5\) dla każdej liczby
rzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje
wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

http://forum.zadania.info/viewtopic.php ... 49#p275349

Ciapek19872103 pisze:16. Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

\(l+r=2\;\So\;l=2-r\\
H^2+r^2=l^2\\
H^2+r^2=(2-r)^2\\
H^2=4-4r\\
r=1-\frac{1}{4}H^2\)

\(V=\frac{1}{3}\pi r^2H\\
V=\frac{1}{3}\pi\cdot (1-0,25H^2)^2\cdot H\\
V=\frac{1}{3}\pi (H-0,5H^3+\frac{1}{16}H^5)\\
V'=\frac{1}{3}\pi (1-1,5H^2+\frac{5}{16}H^4)\\
V'=\frac{\pi}{48}(16-24H^2+5H^4)=\frac{\pi}{48}(H-2)(H+2)(H-\frac{2\sqrt{5}}{5})(H+\frac{2\sqrt{5}}{5})\\
V_{max}=V(\frac{2\sqrt{5}}{5})\\
r=1-\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{5}\\
V=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{16}{25}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Ciapek19872103 pisze:
14. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość\(8 \sqrt{3}\)
jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze 30°. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość \(4 \sqrt{5}\) . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.

Fajne zadanie. Kiedyś je rozwiążę, a na razie tylko podpowiedź: ten spodek wysokości leży w połowie krawędzi AB .

12. Dany jest trójkąt ABC , w którym BC = a . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2/3a

Skoro \(|AD|=|DC|, |BS|=|SD|\) to pola trójkątów \(\Delta ASD= \Delta SCD= \Delta ABS=P\)
Ponadto:
\((P_{ \Delta ASC}= \frac{|AS| \cdot h_1}{2} =2P \qquad P_{ \Delta ABS}= \frac{|AS| \cdot h_2}{2} =P) \So h_1=2h_2\)

\(P_{ \Delta SPC}= \frac{|SP|h_1}{2} \qquad P_{ \Delta SBP}= \frac{|SP|h_2}{2}\)

z tego wynika, że \(P_{ \Delta SPC}=2P_{ \Delta SBP}\)

a ponieważ trójkąty \(\Delta SPC \;\) oraz \(\Delta SBP\) mają wspólną wysokość poprowadzoną z wierzchołka S

to proporcja pól daję proporcję odcinków \(\frac{|CP|}{|PB|}= \frac{2}{1} \So |CP|= \frac{2}{3}a\)

No to ja to zadanie 14.
Sytuacja wygląda tak: Najpierw spodek wysokości:
skoro krawędzie boczne mają jednakową długość to wierzchołek leży na płaszczyznach symetrii odcinków BC i AC, a one przecinają podstawę ABCD wzdłuż symetralnych boków trójkąta ABC, a ponieważ jest to trójkąt prostokątny , to symetralne jego boków przecinają się w połowie przeciwprostokątnej i jest to spodek wysokości.

teraz należy policzyć |OQ|:
\(|AS| \cdot |OQ|= |OS| \cdot |AO|\)
\(|AO|=8\)
\(|OS|= \sqrt{(4 \sqrt{5})^2-8^2 }= 4\)
No to
\(|OQ|= \frac{4 \cdot 8}{4 \sqrt{5} } = \frac{8\sqrt{5}}{5}\)

Super dziękuję mogę teraz wyjść z błędu.

Rozwiązania:
http://www.zadania.info/d1654