forum.zadania.info

Ciąg \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=4n-13\). Znajdź wszystkie liczby naturalne \(k\) takie, że wyrazy \(a_k, a_{k+1}, a_{k+2}\) są liczbami pierwszymi.

Widać, że jest to ciag arytmetyczny o różnicy \(r=4\), więc wśród 3 kolejnych liczb całkowitych jedna musi być podzielna przez 3. Tylko teraz jak wykazać, że wśród trzech kolejnych wyrazów ciagu \((a_n)\) jest wyraz podzielny przez \(3\) ?

\((n=3s-2 \vee n=3s-1 \vee n=3s) \wedge s \in N\)

\(n=3s\) wtedy : \(a_{n+1}=a_{3s+1}=3 \cdot (4s-3)\)

\(n=3s-1\) wtedy :\(a_{n+2}=a_{3s+1}=3 \cdot (4s-3)\)

\(n= 3s-2\) wtedy : \(a_{n}=a_{3s-2}=3 \cdot (4s-7)\)

Pytanie z zadania pozostaje otwarte( prawie).

Można prosić o jakieś wyjaśnienie lub komentarz do tego sposobu?

Każda liczba jest : albo podzielna przez 3 (n=3k), albo daje resztę 1 (n=3k+1), albo resztę 2 (n=3k+2).
Panko dowiódł, że wśród trzech kolejnych wyrazów ciągu \(\left(a_n \right)\) jeden dzieli się przez 3.
Może tabelka poniżej wyjaśni jego dowód: Skoro tak, to szansa, aby były to liczby pierwsze jest tylko wtedy, gdy jednym z wyrazów jest liczba 3 (w przeciwnym razie wśród tej trójki będzie liczba podziela przez 3 ale nie trójka, więc nie będą to trzy liczby pierwsze)

Wypiszmy wyrazy ciągu: -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, ... .
Takimi trójkami mogą być liczby, w których liczba 3 jest pierwszym, drugim lub trzecim wyrazem, czyli (-5,-1,3) lub (-1,3,7) lub (3,7,11). Ponieważ liczby pierwsze z definicji nie są ujemne, więc taką trójka liczb jest (3,7,11).
Jest to jedyna taka trójka, gdyż każda inna zawiera liczbę podzielną przez 3 ale nie trójkę.
Ponieważ \(3=a_4\), więc

Odpowiedź: istnieje tylko jedna liczba naturalna k o tej własności: k=4.

Tabelka po poprawieniu błędnych wpisów wygląda tak: Reszta (to co istotne) bez zmian!

Dziękuję Wam bardzo