Logarytmy

[Nirvana]

to co w nawiasie {}, to jest przy podstawie logarytmu

Funkcja g określona jest wzorem \(g(x)= log_ 2\frac{ x^2-9}{|x|-3}\)
a) wyznacz dziedzinę funkcji g
b) Przekształcając wykres funkcji f(x)=log(2)x, naszkicuj wykres funkcji g
c) Sporząd wykres funkcji, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę orzwiązań równania g(x)=m

2) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=log {1/3} (x^2-2x+10)

3) Dla jakich wartości parametru m równanie x^2-2x-log{1/3}m=0 ma dwa rózne dodatnie pierwiastki?

[eresh]

t

Funkcja g określona jest wzorem g(x)= log {2} x^2-/|x|-3

popraw wzór funkcji

[Nirvana]

g(x)=log przy podstawie 2, x^2-9/|x|-3

[eresh]

2) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=log {1/3} (x^2-2x+10)

\(f(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x^2-2x+10)\\
D=\mathbb{R}\\
g(x)=x^2-2x+10\\
ZW_g=[9,\infty)\)

funkcja \(y=\log_{\frac{1}{3}}x\) jest malejąca, więc

\(ZW_f=(-\infty, \log_{\frac{1}{3}}9]=(-\infty. -2]\)

[eresh]

3) Dla jakich wartości parametru m równanie x^2-2x-log{1/3}m=0 ma dwa rózne dodatnie pierwiastki?

\(x^2-2x-\log_{\frac{1}{3}}m=0\\\)
1. \(m>0\)

2. \(\Delta>0\)
\(4-4\cdot (-\log_{\frac{1}{3}}m)>0\\
1+\log_{\frac{1}{3}}m>0\\
\log_{\frac{1}{3}}m>-1\\
\log_{\frac{1}{3}}m>\log_{\frac{1}{3}}3\\
m<3\)

3.
\(x_1x_2>0\\
\frac{-\log_{\frac{1}{3}}m}{1}>0\\
\log_{\frac{1}{3}}m<0\\
\log_{\frac{1}{3}}m<\log_{\frac{1}{3}}1\\
m>1\)

4.
\(x_1+x_2>0\\
\frac{2}{1}>0\\
m\in\mathbb{R}\)

ostatecznie:
\(m\in (1,3)\)

[Nirvana]

Jedno pytanko do drugiego zadania, jak wyglądałoby ZW, gdyby funkcja była rosnąca?

[eresh]

gdyby była rosnąca to \([-2,\infty)\)

[Nirvana]

Mógłbym prosić jeszcze o wykres tej malejącej? Oraz wykonanie pierwszego zadania

[Galen]

\(log_3(x^2-2x+10)\)
Jest przykładem funkcji rosnącej.

\(ZW=<log_39;+\infty)=<2;+\infty)\)

[eresh]

Funkcja g określona jest wzorem g(x)= log {2} x^2-/|x|-3
a) wyznacz dziedzinę funkcji g

\(f(x)=\log_2\frac{x^2-9}{|x|-3}\)

a)

\(\frac{x^2-9}{|x|-3}>0\\
(x^2-9)(|x|-3)>0\\\)
1. dla \(x\geq 0\)
\((x^2-9)(x-3)>0\\
(x-3)^2(x+3)>0\\
x\in [0,3)\cup (3,\infty)\)

2. dla \(x<0\)
\((x^2-9)(-x-3)>0\\
(x-3)(x+3)(x+3)<0\\
(x-3)(x+3)^2<0\\
x\in (-\infty, -3)\cup (-3,0)\)

\(D=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}\)

[eresh]

Funkcja g określona jest wzorem g(x)= log {2} x^2-9/|x|-3
b) Przekształcając wykres funkcji f(x)=log(2)x, naszkicuj wykres funkcji g

\(g(x)=\log_2\frac{x^2-9}{|x|-3}=\log_2\frac{|x|^2-9}{|x|-3}=\log_2\frac{(|x|-3)(|x|+3)}{|x|-3}=\log_2(|x|+3)\)

\(y_1=\log_2x\\
y_2=\log_2(x+3)\\
y_3=\log_2(|x|+3)\)

01.png (4.95 KiB) Przejrzano 10323 razy

02.png (6.04 KiB) Przejrzano 10323 razy

03.png (4.67 KiB) Przejrzano 10323 razy

[Nirvana]

Funkcja g określona jest wzorem g(x)= log {2} x^2-/|x|-3
a) wyznacz dziedzinę funkcji g

\(f(x)=\log_2\frac{x^2-9}{|x|-3}\)

a)

\(\frac{x^2-9}{|x|-3}>0\\
(x^2-9)(|x|-3)>0\\\)
1. dla \(x\geq 0\)
\((x^2-9)(x-3)>0\\
(x-3)^2(x+3)>0\\
x\in [0,3)\cup (3,\infty)\)

2. dla \(x<0\)
\((x^2-9)(-x-3)>0\\
(x-3)(x+3)(x+3)<0\\
(x-3)(x+3)^2<0\\
x\in (-\infty, -3)\cup (-3,0)\)

\(D=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}\)

Dlaczego przy drugim przypadku został pominięty warunek x-3<0, co by dawał x<3? I skąd wzięło się zero?

[eresh]

rozwiązaniem nierówności \((x-3)(x+3)^2<0\) jest zbiór \((-\infty, -3)\cup (-3,3)\), ale my jesteśmy w przypadku gdy \(x<0\), więc mamy
\((-\infty, -3)\cup (-3,0)\)

[Nirvana]

2) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=log {1/3} (x^2-2x+10)

\(f(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x^2-2x+10)
D=\mathbb{R}\\
g(x)=x^2-2x+10\\
ZW_g=[9,\infty)\)

funkcja \(y=\log_{\frac{1}{3}}x\) jest malejąca, więc

\(ZW_f=(-\infty, \log_{\frac{1}{3}}9]=(-\infty. -2]\)

Faktycznie, przeoczyłem. Mogę prosić jeszcze wykres do tej malejącej?

[eresh]

Faktycznie, przeoczyłem. Mogę prosić jeszcze wykres do tej malejącej?

do której?