forum.zadania.info

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykazać że: \(\bigvee_{n\in\ \nn } \ \ \sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1}*k^2=(n+1)(2n+1)\)

odwrotnie napisałeś kwantyfikator, zamiast \(\vee\) powinno być \(\wedge\)

1) krok początkowy:

\(n=1:\)

\(\sum_{k=1}^{2\cdot 1 + 1} (-1)^{k+1}\cdot k^2 = 1^2 - 2^2 + 3^2 = 6\)

prawa strona wzoru \(= (1 +1 ) \cdot (2\cdot 1 + 1) = 6\)

zgadza się

2) założenie indukcyjne:

wzór jest prawdziwy dla pewnego \(n \in \nn\)

3) krok indukcyjny:

lewa strona \(= \sum_{k=1}^{2\cdot (n+1) + 1} (-1)^{k+1}\cdot k^2 = \sum_{k=1}^{2\cdot n + 1} (-1)^{k+1}\cdot k^2 + (-1)^{2n+2+1}\cdot (2n+2)^2 + (-1)^{2n+3+1}\cdot (2n+3)^2 =\)

\(=_{(2)} (n+1)(2n+1) -(2n+2)^2 + (2n+3)^2 = (n+1)(2n+1) + (2n+3 - (2n+2))(2n+3 + (2n+2)) =\)

\(= 2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3) = ((n+1) +1)(2(n+1) + 1)\)

na mocy zasady indukcji wzór jest prawdziwy dla każdego \(n\)

dlaczego odstawiliśmy na początku za n=1?

bo na tym polegają dowody indukcyjne!:)

chyba że chodzi o to dlaczego nie zero, można i od zera, przyjąłem że naturalne zaczynają się od \(1\)

com powiedział tom powiedział, ide spać

dzięki wielkie jeszcze muszę to wszystko przemyśleć