forum.zadania.info

O pewnej liczbie naturalnej wiadomo, że jest czwartą potęgą liczby naturalnej, szóstą potęgą liczby naturalnej oraz dziewiątą potęgą liczby naturalnej. Udowodnij, że liczba ta musi być trzydziestą szóstą potęgą liczby naturalnej.

Zauważmy, że jeśli \(a^4 = b^9\) to liczby \(a\) i \(b\) mają w rozkładzie te same liczby pierwsze

\(a = p_1^{x_1} \cdot \ldots p_k^{x_k} \\

b= p_1^{y_1} \cdot \ldots p_k^{y_k} \\

a^4 = p_1^{4x_1} \cdot \ldots p_k^{4x_k} \\

b^9 = p_1^{9y_1} \cdot \ldots p_k^{9y_k}\)

zatem

\(4x_i = 9y_i, i = 1, \ldots, k\)

stąd \(4 \mid y_i\) oraz \(9 \mid x_i, i = 1, \ldots, k\)

\(y_i = 4c_i, x_i = 9d_i, i = 1, \ldots, k\) dla pewnych \(c_i, d_i\)

\(a^4 = p_1^{36d_1} \cdot \ldots p_k^{36d_k} = (p_1^{d_1} \cdot \ldots p_k^{d_k} )^{36}\)

OK dzięki! Ale to jest zadanie dla uczniów gimnazjum. Można to jakoś inaczej im wytłumaczyć?

\(a\in N\\a=n^4=m^9\\n,\ m\in N\)

\(n^4=m^9\\n=\sqrt[4]{m^9}=m^2\cdot \sqrt[4]{m}\\\sqrt[4]{m}\in N\\m=k^4\\k\in N\\a=m^9=(k^4)^9=k^{36}\)

A zamiast p nie powinno być m bo nie ma stwierdzenia , że p\(\in\)N

Januszgolenia pisze:A zamiast p nie powinno być m bo nie ma stwierdzenia , że p\(\in\)N

Tak, zaraz poprawię (to zamiana liter przez przeoczenie).