Przedziały monotoniczności i ekstrema
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
Dziedzina funkcji \(D_f= \rr \bez \left\{0 \right\}\)
Obliczam pochodną
\(f'(x)= \frac{e^xx^2-2xe^x}{x^4}= \frac{e^x(x^2-2x)}{x^4}\)
Dla każdego \(x \in D_f\)wyrażenie \(\frac{e^x}{x^4}\) jest dodatnie , zatem o znaku pochodnej decyduje tylko \(x^2-2x\)
\(f'(x)=0 \iff x^2-2x=0 \wedge x \in D_f \iff x=2\)
\(f'(x)>0 \iff x^2-2x>0 \iff x \in \left(- \infty ;0 \right) \cup \left( 2,+ \infty \right)\)
\(f'(x)<0 \iff x \in \left(0,2 \right)\)
Czyli funkcja przyjmuje minimum w x =2 równe \(f(2)= \frac{1}{4} e^2\) ,
funkcja jest rosnąca w przedziałach \(\left( - \infty ,0\right)\) oraz \(\left(2,+ \infty \right)\) ,
a malejąca w przedziale \(\left( 0,2\right)\) .
Obliczam pochodną
\(f'(x)= \frac{e^xx^2-2xe^x}{x^4}= \frac{e^x(x^2-2x)}{x^4}\)
Dla każdego \(x \in D_f\)wyrażenie \(\frac{e^x}{x^4}\) jest dodatnie , zatem o znaku pochodnej decyduje tylko \(x^2-2x\)
\(f'(x)=0 \iff x^2-2x=0 \wedge x \in D_f \iff x=2\)
\(f'(x)>0 \iff x^2-2x>0 \iff x \in \left(- \infty ;0 \right) \cup \left( 2,+ \infty \right)\)
\(f'(x)<0 \iff x \in \left(0,2 \right)\)
Czyli funkcja przyjmuje minimum w x =2 równe \(f(2)= \frac{1}{4} e^2\) ,
funkcja jest rosnąca w przedziałach \(\left( - \infty ,0\right)\) oraz \(\left(2,+ \infty \right)\) ,
a malejąca w przedziale \(\left( 0,2\right)\) .