forum.zadania.info

zad 1 Wyznacz najmniejszą możliwą wartość wyrażenia a+b3 (do potęgi 3), gdzie a i b są dodatnimi liczbami
o iloczynie równym 1.
zad 2 Na przyjęcie przyszło n osób. Początkowo każdy miał dokładnie 3 znajomych wśród
pozostałych osób obecnych na przyjęciu. W trakcie przyjęcia niektóre osoby poznały się,
w wyniku czego pod koniec przyjęcia każdy miał wśród pozostałych obecnych dokładnie 4
znajomych. Wyznacz wszystkie liczby n, dla których opisana sytuacja jest możliwa. (Przyjmujemy, że jeśli osoba A zna osobę B, to osoba B zna osobę A.)

1)
\(a>0\\b>0\\a \cdot b=1\\a= \frac{1}{b}\\a+b^3= \frac{1}{b}+b^3\)
Wartość wyrażenia jest funkcją argumentu b.
Należy wyznaczyć jej minimum...
\(f(b)= \frac{1}{b}+b^3 \\f'(b)=- \frac{1}{b^2}+3b^2\)
\(f'(b)=0\;\;gdy\;\;- \frac{1}{b^2}+3b^2=0\\-1+3b^4=0\\ b^4= \frac{1}{3} \;\; \So \;\;b=( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{4} }= \frac{1}{ \sqrt[4]{3} }\)
\(a= \sqrt[4]{3}\)
W obliczonym punkcie b pochodna zmienia znak z "-" na "+"
stąd wniosek że funkcja f(b) osiąga minimum.