forum.zadania.info

Rozwiąż równania:
a)\(\sqrt{1-3x}+3+x=0\)
b)\(\sqrt{x-1+ \sqrt{x+2} }=3\)
c) \(\sqrt{3x+4}+ \sqrt{x-4} =2 \sqrt{x}\)

a)
\(\sqrt{1-3x} =-3-x\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;1-3x\ge 0\;\;\;x \le \frac{1}{3}\)
Równanie ma sens,gdy po prawej jest liczba nieujemna.
\(-3-x\ge 0\\-3\ge x\;\;czyli\;\;x\le -3\)
Masz szukać x mniejszych od (-3)
Podnosisz obie strony do kwadratu:
\(1-3x=9+6x+x^2\\x^2+9x+8=0\\\Delta=81-32=49=7^2\\x_1= \frac{-9-7}{2}=-8\\x_2=-1\)
Odp.x=-8

A jak zrobić podpunkt B?

b)
\(\sqrt{x-1}+ \sqrt{x+2}=3\)
\((x \ge 1\;\;\;\;i\;\;\;\;x \ge -2 )\;\;\;\; \So \;\;\;\;x\in (1;+\infty)\)
Podnosisz obie str.do kwadratu:
\(x-1+x+2+2 \sqrt{(x-1)(x+2)}=9\\2x-8=-2 \sqrt{(x-1)(x+2)}\;/:(-2)\\-x+4= \sqrt{(x-1)(x+2)}\)
Równanie ma sens,gdy \(-x+4\ge 0\;\;czyli\;\;x\le 4\)
Podnosząc do kwadratu....
\(x^2-8x+16=x^2+x-2\\-9x=-18\\x=2\)
Jeśli nie robi się ustaleń co do x,to wtedy trzeba sprawdzać równanie podstawiając
kolejno wszystkie x.Potem pisze się odpowiedź do równania.

\(\sqrt{x-1+ \sqrt{x+2} } = 3\)
Po podniesieniu obustronnym do kwadratu otrzymamy
\(x-1+ \sqrt{x+2} = 9\)
skąd \(\sqrt{x+2} 10-x\) , zakładamy , że \(x+2 \ge 0 \wedge 10-x \ge 0\)
\(x+2=(10-x)^2 \wedge x \in D= \left\langle-2,10 \right\rangle\)
\(x^2-21x+98=0\)
\(x_1=14 \ \notin D\) , \(x_2=7 \in D\)
odp. x = 7

c)
\(\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4}=2 \sqrt{x}\)
Warunki:
\(3x+4 \ge 0\;\;czyli\;\;x \ge - \frac{4}{3}\\i\\x-4 \ge 0\;\;\;\;czyli\;\;\;x \ge 4\\i\\x \ge 0\\stąd\;dziedzina\;równania:\\
D=<4;+\infty)\)

\(3x+4+x-4+2 \sqrt{ (3x+4)(x-4)}=4x\\2 \sqrt{(3x-4)(x-4)}=0\\3x-4=0\;\;\;lub\;\;\;x-4=0\;\;\;i\;\;\;x\in D\\x=4\)
Równanie ma jedno rozwiązanie x=4.