forum.zadania.info

Zadanie 7.(720)
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCW, którego podstawą jest trójkąt ABC jest równe 9, a miara kąta między wysokościami dwóch ścian bocznych poprowadzonych z punktu W jest równa 60 stopni. Oblicz objętość ostrosłupa.

Zadanie 8.(721)
Środek jednej z wysokości czworościanu foremnego połączono odcinkami z dwoma wierzchołkami nienależącymi do tej wysokości. Wykaz ze odcinki te są prostopadle.

Zad.7
Trójkąt utworzony przez wysokości " w" ścian bocznych jest równoramienny i ten ma kąt między ramionami 60 stopni,to i kąty przy podstawie muszą miec po 60 stopni.
Jest więc trójkąt równoboczny o boku \(x= \frac{a}{2}\) Stąd wiesz,że \(w= \frac{a}{2}\)
Pole boczne=9
\(3 \cdot \frac{1}{2}a \cdot w=9\\ \frac{3}{2}a \cdot \frac{a}{2}=9\\ \frac{3}{4}a^2=9\\a^2=12\\a=2 \sqrt{3}\)
Obliczasz wysokość H ostrosłupa z trójkąta utworzonego przez H i wysokość w ściany bocznej (w spada na środek D krawędzi podstawy)
W trójkącie DOW:
\(H^2+ (\frac{1}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2})^2=w^2\\H^2+ (\frac{a \sqrt{3} }{6})^2=( \frac{a}{2})^2\\H^2+ \frac{3a^2}{36}= \frac{a^2}{4}\\H^2= \frac{a^2}{4}- \frac{a^2}{12}\\H^2= \frac{a^2}{6}\\H= \frac{a}{ \sqrt{6} }\)
\(a=2 \sqrt{3} \\H= \frac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{6} }= \sqrt{2} \\V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(V= \frac{1}{3} \cdot \frac{12 \sqrt{3} }{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}\)