monotniczność, rozbieżność ciągów, granica górna i dolna
: 28 paź 2014, 11:52
Proszę o pomoc w poniższych zadaniach, jedno zrobiłam , pozostałych przykładów nie wiem jak zacząć:
Zad 1.
Udowodnić że ciąg \(d_{n} = (1+ \frac{1}{n} )^{n+1}\) jest ciągiem malejącym.
Czy moje rozwiązanie jest poprawne?
Założę że jest prawdą , że:
\((1 + \frac{1}{n+1} )^{n+2} < (1 + \frac{1}{n} )^{n+1}\)
i dojdę do czegoś zawsze prawdziwego , w ten sposób:
\((\frac{n+2}{n+1} )^{n+2} < (1 + \frac{n+1}{n} )^{n+1}\)
\(\frac{n+2}{n+1} * (\frac{n+2}{n+1} )^{n+1} < (1 + \frac{n+1}{n} )^{n+1}\)
\(\frac{n+2}{n+1} < (1 + \frac{(n+1)(n+1)}{n(n+2)} )^{n+1}\)
Korzystając z nierówności Bernoullego:
\(\frac{n+2}{n+1} < 1 + \frac{(n+1)(n+1)(n+1)}{n(n+2)} <(1 + \frac{(n+1)(n+1)}{n(n+2)} )^{n+1}\)
Zajmę się teraz już tylko tym:
\(\frac{n+2}{n+1} < 1 + \frac{(n+1)(n+1)(n+1)}{n(n+2)}\)
Wymnażając mianowniki otrzymuje:
n(n+2)^{2} < (n+1)(n^{3} + 4n^{2} + 5n + 1)
\(0<n^{4} + 4n^{3} + 5n^{2} + 2n + 1\)
To powyżej jest już prawdziwe dla każdego \(n \in \nn\)
Zad 2:
Udowodnić że poniższy ciąg jest rozbieżny:
\(c_{n} = \frac{n+2}{n+5}(-1)^{n(n+1)/2}\)
Zad 3:
Obliczyć granice górną i dolną ciągów:
\(a_{n} = 1+ 2(-1)^{n+1} + 3(-1)^{ \frac{n(n-1)}{2} }\)
\(d_{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{n}}{ \sqrt{n^{2} + i} }\)
Proszę o przykłady rozwiązania.
Zad 1.
Udowodnić że ciąg \(d_{n} = (1+ \frac{1}{n} )^{n+1}\) jest ciągiem malejącym.
Czy moje rozwiązanie jest poprawne?
Założę że jest prawdą , że:
\((1 + \frac{1}{n+1} )^{n+2} < (1 + \frac{1}{n} )^{n+1}\)
i dojdę do czegoś zawsze prawdziwego , w ten sposób:
\((\frac{n+2}{n+1} )^{n+2} < (1 + \frac{n+1}{n} )^{n+1}\)
\(\frac{n+2}{n+1} * (\frac{n+2}{n+1} )^{n+1} < (1 + \frac{n+1}{n} )^{n+1}\)
\(\frac{n+2}{n+1} < (1 + \frac{(n+1)(n+1)}{n(n+2)} )^{n+1}\)
Korzystając z nierówności Bernoullego:
\(\frac{n+2}{n+1} < 1 + \frac{(n+1)(n+1)(n+1)}{n(n+2)} <(1 + \frac{(n+1)(n+1)}{n(n+2)} )^{n+1}\)
Zajmę się teraz już tylko tym:
\(\frac{n+2}{n+1} < 1 + \frac{(n+1)(n+1)(n+1)}{n(n+2)}\)
Wymnażając mianowniki otrzymuje:
n(n+2)^{2} < (n+1)(n^{3} + 4n^{2} + 5n + 1)
\(0<n^{4} + 4n^{3} + 5n^{2} + 2n + 1\)
To powyżej jest już prawdziwe dla każdego \(n \in \nn\)
Zad 2:
Udowodnić że poniższy ciąg jest rozbieżny:
\(c_{n} = \frac{n+2}{n+5}(-1)^{n(n+1)/2}\)
Zad 3:
Obliczyć granice górną i dolną ciągów:
\(a_{n} = 1+ 2(-1)^{n+1} + 3(-1)^{ \frac{n(n-1)}{2} }\)
\(d_{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{n}}{ \sqrt{n^{2} + i} }\)
Proszę o przykłady rozwiązania.