forum.zadania.info

Oblicz całkę z funkcji trygonometrycznych:
\(\int \frac{1+ \sin x}{1+cos x}dx\)
Pomoże ktoś?

tę całkę rozwiązuje się za pomocą podstawienia \(t=\tg \frac{x}{2}\) lub za pomocą analizy zespolonej podstawiając

\(\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \;\;\ \sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\) i całkować po częściach rzeczywistych

tajedyna pisze:Oblicz całkę z funkcji trygonometrycznych:
\(\int \frac{1+ \sin x}{1+cos x}dx\)
Pomoże ktoś?

\(t=\tg\frac{x}{2}\\
dx=\frac{2dt}{t^2+1}\\
\sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\
\cos x=\frac{1-t^2}{t^2+1}\)

\(\int\frac{1+\frac{2t}{t^2+1}}{1+\frac{1-t^2}{t^2+1}}\cdot\frac{2}{t^2+1}dt=\\
=\int\left(\frac{t^2+1+2t}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{t^2+1+1-t^2}\cdot\frac{2}{t^2+1}\right)dt=\\
=\int\frac{2(t+1)^2}{2(t^2+1)}dt=\int\frac{t^2+1+2t}{t^2+1}=\int dt+\int\frac{2t}{t^2+1}=t+\ln|t^2+1|+C=\\
=\tg\frac{x}{2}+\ln\left(\tg^2\frac{x}{2}+1\right)+C\)