forum.zadania.info

Potrzebuje dowodu (podobno dowodzi się indukcyjnie z definicji kresu) że jeśli każdy element pewnego zbioru A spełnia nierówność \(x \le M\)to także\(sup (A) \le M\)

TW : Jeżeli zbiór \(A\) jest ograniczony z góry , to ma kres górny.

Stąd wyprowadza się jako pożyteczny wniosek ten fakcik
Jeżeli wszystkie liczby \(x\) z pewnego zbioru spełniają nierówność \(x \le M\) , to również \(sup \left\{x \right\} \le M\)

Dowód powyższego twierdzenia i uzasadnienie faktu pomieszczony jest w
Rachunek różniczkowy i całkowy : G.M Fichtenholz Tom I , Krańce zbiorów liczbowych.

Mam tą książke ale w rozdziale który podales znalazłam tylko dowód twierdzenia na to ze istanieje kres zbioru ograniczonego (z góry bądź z dołu) (dziwne, myślałam że to jest aksjomat ciągłości).

W każdym razie nie o to mi chodzi, wiec gdzie jest dowód którego szukam?

Jeśli byłoby \(\sup\left\{x\right\}>M\), to z definicji kresu mielibyśmy pewne \(y\in A\) takie, że \(\sup\left\{A\right\}>y>M\), co prowadzi do sprzeczności.

Nie przekonuje mnie to.
po pierwsze co to jest x. Zakładam ze mówimy tu o supremum zbioru A czyli powinno być sup ( A).

Po drugie z tego ze
sup (A) > M
i
sup(A) >= y

nie wynika że:
sup (A)> y > M

Nie rozumiem tego dowodu. Czy tu jest błąd czy ja czegoś nie wiem?

Definicja mówi: \(\sup(A)=M \iff \forall x \in A,\,\,\, x \le M \wedge \forall \epsilon>0 \,\, \exists x_0 \in A: x_0>M-\epsilon\)
Dowód (nie wprost):
Załóżmy, że \(\forall x \in A, \,\,x \le M \wedge \sup(A)>M\)
Niech \(\sup(A)=S>M \So S=M+\epsilon_0, \epsilon_0>0\)
Zgodnie z definicją supremum \(\forall x \in A, \,\, x \le M+\epsilon_0 \wedge \forall \epsilon>0 \,\, \exists x_0 \in A: x_0>S-\epsilon=M + \epsilon_0 -\epsilon\)
Skoro ta nierówność zachodzi \(\forall \epsilon >0\), to również dla \(\epsilon=\epsilon_0\)
Zatem \(\exists x_0 \in A: x_0>M+\epsilon_0-\epsilon_0 \iff \exists x \in A: x>M\\) co przeczy założeniu że \(\forall x \in A, \,\,x \le M\) i kończy dowód.

Czy takie rozumowanie przekonuje cię?

To rozumowanie mnie przekonało. I nie było tu jednak żadnej indukcji

A kto wspominał o, za przeproszeniem, indukcji?