wyznaczyc styczna i normalna do krzywej :
1) x=cos^3t, y=sin^3t w punkcie t=\(\frac{\pi}{4}\)
2)x=lncosx w punkcie x=\(\frac{\pi}{3}\)
styczna i normalna do krzywej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Równanie stycznej do krzywej \(y=f(x)\) w punkcie \((x_0,y_0)\) dane jest zależnością \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
1) Jeśli krzywa dana jest równaniem parametrycznym, to \(f'(x)= \frac{y'(t)}{x'(t)}\).
\(t= \frac{ \pi }{4} \So x_0=\cos^3 \left( \frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\sqrt2}{2} \right)^3= \frac{ \sqrt{2} }{4}=y_0\)
Punktem styczności jest punkt \(\left( \frac{ \sqrt{2} }{4}; \frac{ \sqrt{2} }{4}\right)\)
\(x'(t)=3\cos^2t\cdot (-\sin t)=-3\sin t \cos^2t \quad\) oraz \(\quad y'(t)=3\sin^2t \cdot \cos t=3\sin^2t\cos t\)
Zatem \(f'(x)= \frac{y'(t)}{x'(t)}= \frac{3\sin^2t\cos t}{-3\sin t \cos^2t}=- \tg x \So f' \left( \frac{\pi}{4} \right)=-1\)
Styczna będzie mieć równanie \(y- \frac{ \sqrt{2} }{4}=-1 \left(x- \frac{ \sqrt{2} }{4} \right)\).
Po uporządkowaniu, otrzymamy \(y=-x+ \frac{ \sqrt{2} }{2}\)
Normalna w punkcie to prosta prostopadła do stycznej w tym punkcie. Współczynnik prostopadłej do stycznej \(a'=1\), więc
\(y- \frac{ \sqrt{2} }{4}=1 \left(x- \frac{ \sqrt{2} }{4} \right) \iff y=x\)
Odp.: Styczna ma równanie \(y=-x+ \frac{ \sqrt{2} }{2}\), a normalna to prosta o równaniu \(y=x\)
Dodatkowo obrazek ilustrujący całą sytuację (ze względu na urodę krzywej)
Zadanie drugie spróbuj samodzielnie.
1) Jeśli krzywa dana jest równaniem parametrycznym, to \(f'(x)= \frac{y'(t)}{x'(t)}\).
\(t= \frac{ \pi }{4} \So x_0=\cos^3 \left( \frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\sqrt2}{2} \right)^3= \frac{ \sqrt{2} }{4}=y_0\)
Punktem styczności jest punkt \(\left( \frac{ \sqrt{2} }{4}; \frac{ \sqrt{2} }{4}\right)\)
\(x'(t)=3\cos^2t\cdot (-\sin t)=-3\sin t \cos^2t \quad\) oraz \(\quad y'(t)=3\sin^2t \cdot \cos t=3\sin^2t\cos t\)
Zatem \(f'(x)= \frac{y'(t)}{x'(t)}= \frac{3\sin^2t\cos t}{-3\sin t \cos^2t}=- \tg x \So f' \left( \frac{\pi}{4} \right)=-1\)
Styczna będzie mieć równanie \(y- \frac{ \sqrt{2} }{4}=-1 \left(x- \frac{ \sqrt{2} }{4} \right)\).
Po uporządkowaniu, otrzymamy \(y=-x+ \frac{ \sqrt{2} }{2}\)
Normalna w punkcie to prosta prostopadła do stycznej w tym punkcie. Współczynnik prostopadłej do stycznej \(a'=1\), więc
\(y- \frac{ \sqrt{2} }{4}=1 \left(x- \frac{ \sqrt{2} }{4} \right) \iff y=x\)
Odp.: Styczna ma równanie \(y=-x+ \frac{ \sqrt{2} }{2}\), a normalna to prosta o równaniu \(y=x\)
Dodatkowo obrazek ilustrujący całą sytuację (ze względu na urodę krzywej)
- graph1.png (19.45 KiB) Przejrzano 2788 razy