forum.zadania.info

Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz \(\Lim_{x\to x0 }\) f(x), jeśli:

a) \(\frac{x^2+5x+6}{x^2-2x-8} , x0=-2\)

b) \(\frac{x^2-4x-5}{x^2-7x+10} , x0=5\)

c) \(\frac{2x-14}{-x^2+9x-14} , x0=7\)

d) \(\frac{6-3x}{12-4x-x^2} , x0=-4\)

e) \(\frac{2x^2+x-6}{2x^2-5x+3} , x0=1,5\)

Nie dział studia a szkoła średnia

a)
Dla x=-2 funkcja nie jest określona,natomiast jest określona w każdym sąsiedztwie
punktu (-2).
Niech \((x_n)\) będzie dowolnym ciągiem o wyrazach różnych od (-2) i takim,
że \(\Lim_{n\to \infty }x_n=-2\) Tworzysz ciąg wartości funkcji \((f(x_n))\) o wyrazie
ogólnym
\(f(x_n)= \frac{x_n^2+5x_n+6}{x_n^2-2x_n-8}= \frac{(x_n+2)(x_n+3)}{(x_n+2)(x_n-4)}= \frac{x_n+3}{x_n-4}\)
Skrócenie ułamka jest możliwe,bo \(x_n \neq -2\;\;czyli\;\;x_n+2 \neq 0\)
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{x_n+3}{x_n-4}= \frac{-2+3}{-2-4}=- \frac{1}{6}\)

b)
Analogicznie
\(\Lim_{n\to \infty }x_n=5\;\;\;\;\;i\;\;\;\;x_n \neq 5\)
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{(x_n+1)(x_n-5)}{(x_n-2)(x_n-5)}= \Lim_{n\to \infty } \frac{x_n+1}{x_n+2}= \frac{5+1}{5-2}=2\)

w przykładzie C wychodzi mi samo xn, czyli jest równe 0?
ładnie mi się poskracało i xn został z mianownika

djarta pisze:Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz \(\Lim_{x\to x0 }\) f(x), jeśli:
c) \(\frac{2x-14}{-x^2+9x-14} , x0=7\)

\(\Lim_{n\to\infty}x_n=7\\
x_n\neq 7\\
\Lim_{n\to\infty}\frac{2x_n-14}{-x^2_n+9x_n-14}=\Lim_{n\to\infty}\frac{2(x_n-7)}{-(x_n-7)(x_n-2)}=\\=\Lim_{n\to\infty}\frac{-2}{x_n-2}=\frac{-2}{7-2}=-\frac{2}{5}\)

w podpunkcie b) w odpowiedziach jest 0

djarta pisze:Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz \(\Lim_{x\to x0 }\) f(x), jeśli:
d) \(\frac{6-3x}{12-4x-x^2} , x0=-4\)

\(\Lim_{x\to\infty}x_n=-4\\
x_n\neq -4\\
\Lim_{n\to\infty}\frac{6-3x_n}{12-4x_n-x_n^2}=\frac{6-3\cdot (-4)}{12-4\cdot (-4)-(-4)^2}=\frac{3}{2}\)

djarta pisze:w podpunkcie b) w odpowiedziach jest 0

to widocznie jest błąd w odpowiedziach, albo źle został przepisany przykład

znalazłem błąd, oki

djarta pisze:Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, oblicz \(\Lim_{x\to x0 }\) f(x), jeśli:
e) \(\frac{2x^2+x-6}{2x^2-5x+3} , x0=1,5\)

\(\Lim_{n\to\infty}x_n=1,5\\
x_n\neq 1,5\\
\Lim_{n\to\infty}\frac{2x_n^2+x_n-6}{2x_n^2-5x_n+3}=\Lim_{n\to\infty}\frac{2(x_n-1,5)(x_n+2)}{2(x_n-1,5)(x_n-1)}=\Lim_{n\to\infty}\frac{x_n+2}{x_n-1}=\frac{1,5+2}{1,5-1}=7\)

dziękuje Ci bardzo, mam nadzieje, że to dobra metoda tego Heinego