forum.zadania.info

Wykazać, że funkcja \(F(x)= \frac{1}{8}(2+x^2)^4\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x)=x(2+x^2)^3\)

Muszę to zrobić za pomocą pochodnych.

musi zachodzić \(F'(x)=f(x)\)

mamy: \(F'(x)=\frac{1}{8} \cdot 4(2+x^2)^3 \cdot 2x=x(2+x^2)^3=f(x)\) c.n.d

No dobra ten wyżej mi wychodzi ładnie, wszystko się zgadza. Ale nie mogę rozpracować tego:

\(F(x)=\ (x^2+3)* \ lnx\)
\(f(x)=x(2 \ lnx+1)+ \frac{3}{x}\)

A ja stanąłem na takim obliczeniu:
\(F'(x)=\ (x^2+3)* \ lnx = 2x*lnx+(x^2+3)* \frac {1}{x}\)

\(F(x)=(x^2+3)\cdot lnx\\F'(x)=2x lnx+(x^2+3)\cdot \frac{1}{x}=2x \cdot lnx+ \frac{x^2}{x}+ \frac{3}{x}=\\=2xlnx+x+ \frac{3}{x}=x(2lnx+1)+ \frac{3}{x}=f(x)\)
Liczysz ze wzoru na pochodną iloczynu i przekształcasz zapisy...